Logo
Logo

Электропроводность металлов

Закон Ома

Проводниками называются материальные тела, в которых при наличии электрического поля возникает упорядоченное движение зарядов, то есть электрический ток. Закон, связывающий силу тока $I$, протекающего по проводнику, с разностью потенциалов (напряжением) $U$, приложенной к его концам, был открыт экспериментально Георгом Омом (1787–1854) и имеет вид
$$I=\frac{U}{R}, \tag{1}$$
где $R$ — величина, называемая сопротивлением проводника.

Рассмотрим малый элемент проводника длиной $l$ и поперечным сечением $S$, к концам которого приложена разность потенциалов $U$. Пусть $\sigma$ — удельная электрическая проводимость вещества, которая является величиной, обратной удельному электрическому сопротивлению $\rho$. Электрическое сопротивление элемента проводника и сила тока, текущего по нему, равны
$$R=\rho\frac{l}{S}=\frac{1}{\sigma}\frac{l}{S}, \quad I=jS, \tag{2}$$
где введена плотность тока $j$, представляющая собой количество заряда, проходящего в единицу времени через единицу поперечного сечения проводника и зависящая от концентрации электронов и их средней скорости упорядоченного движения.

Принимая во внимание, что $E=U/l$ — напряженность электрического поля, из $(1)$ и $(2)$ получаем локальную (дифференциальную) форму записи закона Ома
$$j=\sigma E. \tag{3}$$
Учитывая, что направления векторов напряженности электрического поля и плотности тока в проводнике одинаковы, это соотношение можно записать в векторном виде
$$\operatorname{j}=\sigma\operatorname{E}. \tag{4}$$

1.  1,00 Исходя из закона Джоуля-Ленца, впервые открытом Джеймсом Джоулем и позже Эмилем Ленцем, определите объемную плотность тепловой мощности $P_V$, выделяемой в проводнике, то есть теплоты, образующейся в $1~м^3$ проводника за $1~с$. Ответ выразите через $E$ и $\sigma$ .

Модель Друде

Немецкий физик Пауль Друде, после открытия Джозефом Джоном Томпсоном электрона в 1900 году, предложил так называемую классическую теорию электропроводности металлов. Согласно этой теории электроны с концентрацией $n$, массой $m$ и зарядом $−e$ могут свободно перемещаться в ионной кристаллической решетке металла, периодически сталкиваясь с ионами в узлах и передавая им свою кинетическую энергию.
Действительное движение электрона очень сложное, поскольку он находится в хаотическом тепловом движении. Под влиянием внешнего поля все электроны получают одинаковое ускорение и приобретают дополнительную скорость. В результате возникает упорядоченное движение электронов, то есть электрический ток. Нас будет интересовать только это упорядоченное движение электронов, которое накладывается на их хаотическое тепловое движение.

Так как реальная картина электропроводности очень сложна, примем следующую упрощенную модель. Допустим, что электрон с начальной нулевой скоростью ускоряется в течении времени $\tau$, затем сталкивается с ионом и отдает ему всю приобретенную кинетическую энергию. Затем он снова начинает ускоряться, через время $\tau$ снова сталкивается с ионом и так далее. $\textit{При этом электроны между собой не взаимодействуют}$.

2.  1,00 Определите вектор средней упорядоченной скорости движения электронов $\operatorname{u}$. Ответ выразите через $e$, $\operatorname{E}$, $m$ и $\tau$.

3.  1,00 Плотность тока определяется компонентой средней скорости, параллельной вектору напряженности внешнего электрического поля $E$. Покажите, что в этой модели справедлив закон Ома и найдите проводимость металла $\sigma$. Ответ выразите через $e$, $n$, $m$ и $\tau$.

4.  1,00 Какое количество теплоты $Q_V$ передают электроны кристаллической решетке в $1~м^3$ проводника за $1~с$. Ответ выразите через $e$, $\operatorname{E}$, $n$, $m$ и $\tau$.

Магнетосопротивление

Важным гальваномагнитным явлением является изменение проводимости проводника, помещенного в поперечное магнитное поле. Это явление называется эффектом магнетосопротивления. Как показывает опыт, относительное изменение удельной проводимости $\Delta \sigma/\sigma$ при не очень сильных магнитных полях с индукцией $B$ выражается формулой
$$\frac{\Delta\sigma}{\sigma}=\frac{\sigma(B)-\sigma(B=0)}{\sigma(B=0)}=\mu B^{\nu}, \tag{5}$$
где $\mu$ и $\nu$ — некоторые постоянные.

Используя модель Друде, описанную выше, выполните следующие задания. Внимательно изучите второй рисунок, представленный выше, так как на нем представлены система координат и направления всех векторов.

5.0  1,00 Найдите зависимости проекций скорости электрона на оси координат $u_x(t)$ и $u_y(t)$ от времени $t$ между двумя последовательными столкновениями. Ответ выразите через $e$, $E$, $B$, $m$ и $t$.

6.  2,00 Плотность тока определяется компонентой средней скорости, параллельной вектору напряженности внешнего электрического поля $E$. Считая величину индукции магнитного поля $B$ достаточно малой, определите значения постоянных $\mu$ и $\nu$ в формуле $(5)$. Ответ выразите через $e$, $m$ и $\tau$.

Эффект Холла

Эдвин Холл в 1879 году открыл явление возникновения поперечной разности потенциалов, называемой холловским напряжением, при помещении проводника с током в постоянное магнитное поле.
В простейшем рассмотрении эффект Холла выглядит следующим образом. Пусть через металлический брус в слабом магнитном поле $B$ течёт электрический ток под действием напряжённости внешнего электрического поля $E$. Магнитное поле будет отклонять электроны от их прямолинейного движения к одной из граней бруса. Таким образом, сила Лоренца приведёт, в отличие от магнетосопротивления, к накоплению отрицательного заряда возле одной грани бруска и положительного — возле противоположной. Накопление заряда будет продолжаться до тех пор, пока возникшее поперечное электрическое поле зарядов $E_H$ (направленное на представленном выше рисунке вдоль оси $Oy$) $\textbf{полностью не скомпенсирует}$ за время $\tau$ поперечное смещение электронов.

Используя модель Друде, описанную выше, выполните следующие задания. Внимательно изучите рисунок, представленный выше, так как на нем представлены система координат и направления всех векторов.

7.  0,50 Внимательно посмотрите на второй рисунок, приведенный выше. Возле какой из граней, верхней или нижней, будет происходить накопление отрицательного заряда?

8.  1,50 Найдите зависимости проекций скорости электрона на оси координат $u_x(t)$ и $u_y(t)$ от времени $t$ между двумя столкновениями. Ответ выразите через $e$, $E$, $E_H$, $B$, $m$ и $t$.

9.  1,00 Найдите холловскую напряженность поперечного электрического поля $E_H$. Ответ выразите через $e$, $E$, $B$, $m$ и $\tau$, а затем через $e$, $j$, $B$ и $n$.

При решении данной задачи вы можете использовать приближенные формулы, справедливые при малых значениях $x$:

$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$$

$$\cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$