Проводниками называются материальные тела, в которых при наличии электрического поля возникает упорядоченное движение зарядов, то есть электрический ток. Закон, связывающий силу тока $I$, протекающего по проводнику, с разностью потенциалов (напряжением) $U$, приложенной к его концам, был открыт экспериментально Георгом Омом (1787–1854) и имеет вид
$$I=\frac{U}{R}, \tag{1}$$
где $R$ — величина, называемая сопротивлением проводника.
Принимая во внимание, что $E=U/l$ — напряженность электрического поля, из $(1)$ и $(2)$ получаем локальную (дифференциальную) форму записи закона Ома
$$j=\sigma E. \tag{3}$$
Учитывая, что направления векторов напряженности электрического поля и плотности тока в проводнике одинаковы, это соотношение можно записать в векторном виде
$$\operatorname{j}=\sigma\operatorname{E}. \tag{4}$$
Так как реальная картина электропроводности очень сложна, примем следующую упрощенную модель. Допустим, что электрон с начальной нулевой скоростью ускоряется в течении времени $\tau$, затем сталкивается с ионом и отдает ему всю приобретенную кинетическую энергию. Затем он снова начинает ускоряться, через время $\tau$ снова сталкивается с ионом и так далее. При этом электроны между собой не взаимодействуют.
Важным гальваномагнитным явлением является изменение проводимости проводника, помещенного в поперечное магнитное поле. Это явление называется эффектом магнетосопротивления. Как показывает опыт, относительное изменение удельной проводимости $\Delta \sigma/\sigma$ при не очень сильных магнитных полях с индукцией $B$ выражается формулой
$$\frac{\Delta\sigma}{\sigma}=\frac{\sigma(B)-\sigma(B=0)}{\sigma(B=0)}=\mu B^{\nu}, \tag{5}$$
где $\mu$ и $\nu$ — некоторые постоянные.
Используя модель Друде, описанную выше, выполните следующие задания. Внимательно изучите второй рисунок, представленный выше, так как на нем представлены система координат и направления всех векторов.
Эдвин Холл в 1879 году открыл явление возникновения поперечной разности потенциалов, называемой холловским напряжением, при помещении проводника с током в постоянное магнитное поле.
В простейшем рассмотрении эффект Холла выглядит следующим образом. Пусть через металлический брус в слабом магнитном поле $B$ течёт электрический ток под действием напряжённости внешнего электрического поля $E$. Магнитное поле будет отклонять электроны от их прямолинейного движения к одной из граней бруса. Таким образом, сила Лоренца приведёт, в отличие от магнетосопротивления, к накоплению отрицательного заряда возле одной грани бруска и положительного — возле противоположной. Накопление заряда будет продолжаться до тех пор, пока возникшее поперечное электрическое поле зарядов $E_H$ (направленное на представленном выше рисунке вдоль оси $Oy$) полностью не скомпенсирует за время $\tau$ поперечное смещение электронов.
Используя модель Друде, описанную выше, выполните следующие задания. Внимательно изучите рисунок, представленный выше, так как на нем представлены система координат и направления всех векторов.
При решении данной задачи вы можете использовать приближенные формулы, справедливые при малых значениях $x$:
$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$$
$$\cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$