В классической физике энергия системы изменяется непрерывно. В физике микромира большинство физических величин квантуется, то есть принимает дискретный ряд значений. Квантование энергии может приводить к реально наблюдаемым макроскопическим эффектам. В данной задаче вам предлагается рассмотреть простейшую модель квантового идеального газа.
Сосуд приведен в контакт с термостатом так, что температура газа в сосуде равна $T$. Изменение величины кинетической энергии атомов происходит в результате контакта с термостатом. Концентрация атомов невелика, так что столкновениями атомов между собой можно пренебречь.
В состоянии термодинамического равновесия число атомов $N_n$, имеющих энергию $E_n$, определяется функцией распределения Больцмана
$$N_n=C\exp\left(-n\frac{\varepsilon}{k_BT}\right), \tag{2}$$
где $k_B$ — постоянная Больцмана, $C$ — нормировочный множитель, который вам необходимо определить самостоятельно.
2. 3.00 Найдите выражение для внутренней энергии $U$ газа. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$. Получите приближенные формулы для внутренней энергии газа в двух предельных случаях $k_B T \gg \varepsilon$ $(\textbf{высокая температура, классический предел})$ и $k_B T \ll \varepsilon$ $(\textbf{предел низких температур})$.
3. 3.00 Вычислите молярную теплоемкость газа $C_V$ при постоянном объеме. Ответ выразите через $N$, $\varepsilon$, $T$ и $k_B$. Получите приближенные формулы для теплоемкости в классическом пределе и пределе низких температур. Постройте примерный график зависимости молярной теплоемкости рассматриваемого газа от температуры.
При решении данных задач вы можете использовать формулы:
$$\sum^{\infty}_{n=1}x^n=\frac{x}{1-x},$$
$$\sum^{\infty}_{n=1}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2},$$
$$\exp(x)\approx 1+x, \quad x \ll 1,$$
$$\frac{1}{1-x}\approx 1+x, \quad |x| \ll 1.$$