Задача о движении планеты в гравитационном поле Солнца – одна из старейших и наиболее известных в механике. В первом приближении можно считать планеты точечными и не учитывать взаимодействие между ними. В таком случае движение описывается законами Кеплера, которые выполняются с хорошей точностью. Однако на самом деле планеты взаимодействуют друг с другом. За большой промежуток времени эффекты взаимодействия накапливаются, что приводит к изменению параметров орбиты. Эти изменения действительно наблюдаются при точных астрономических измерениях и с хорошей точностью описываются классической механикой. В этой задаче исследуется изменение орбиты Меркурия под действием других планет.
Меркурий движется по эллиптической орбите с большой полуосью $a$ и эксцентриситетом $e$. Эксцентриситет достаточно мал, поэтому орбита близка к круговой радиуса $a$. Изменения параметров орбиты происходит крайне медленно, поэтому при учете влияния другой планеты можно произвести усреднение по ее положению в пространстве. Также, если не оговорено обратного, будем рассматривать воздействие только одной планеты. Считая орбиту планеты круговой радиуса $R$, заменим планету на неподвижное кольцо радиуса $R$, по которому равномерно распределена масса планеты $M$. Таким образом, нужно решить задачу о движении Меркурия в гравитационном поле Солнца и кольца радиуса $R$.
Используйте следующие предположения и определения:
При решении задачи используйте следующие обозначения и численные значения:
Для определения формы орбиты удобно использовать переменную $u = 1/r$ и исследовать ее зависимость от полярного угла $\theta$. Пусть радиальная сила, действующая на Меркурий со стороны Солнца и кольца равна $F_r$ и ей отвечает потенциальная энергия $V(r)$.
Будем считать, что орбита близка к круговой, $u = u_0 + \delta u$, где $\delta u \ll u_0$, а $u_0 = 1/a$ ($a$ – радиус круговой орбиты). Считайте, что момент импульса равен моменту импульса тела на круговой орбите радиуса $a$.
Планета $M$, $10^{24}$ кг $R$, $10^{11}$ м Венера 4.9 1.08 Земля 6.0 1.50 Марс 0.64 2.28 Юпитер 1900 7.78 Сатурн 568 14.3 Уран 87 28.7 Нептун 102 45.0
В этой части не будем считать эксцентриситет орбиты Меркурия малым. Изучим прецессию орбиты под действием одной планеты, которую как и раньше заменим на кольцо массы $M$ и радиуса $R$. Решить уравнение на зависимость $u(\theta)$ аналитически не получится. Однако можно все еще найти изменение положения перигелия, рассмотрев вектор Лапласа-Рунге-Ленца (далее – вектор Лапласа)
$$
\vec{A} = \vec{v} \times \vec{L} - Gm M_S \vec{e}_r.
$$Здесь $\vec{v}$ – скорость Меркурия, $\vec{L}$ – его момент импульса. Этот вектор замечателен тем, что в случае движения в поле Солнца (без учета других планет), он остается постоянным. Модуль вектора Лапласа равен
$$
A = Gm M_S e,
$$где $e$ – эксцентриситет орбиты, вектор направлен от Солнца к перигелию Меркурия.
Если учесть влияние поля кольца, вектор Лапласа будет меняться, но скорость изменения будет мала. Найдя изменение вектора Лапласа за период, можно найти соответствующее изменение направления на перигелий. При вычислениях в координатах направьте ось $x$ от Солнца к перигелию Меркурия, ось $y$ – перпендикулярно ей в плоскости орбиты Меркурия.
Производная по времени единичного вектора $\vec{e}_r$ при движении частицы с угловой скоростью $\vec{\omega}$ равна
$$
\frac{d}{dt} \vec{e}_r = \vec{\omega} \times \vec{e}_r.
$$
$$
\frac{d}{dt} \left( \vec{v} \times \vec{L}\right) = B \frac{d}{d t} \vec{e}_r.
$$Найдите коэффициент $B$, выразите его через $r$, $m$, $F_r$.
Вам может потребоваться один из следующих интегралов:
\begin{align*}
\int_0^{2\pi} \frac{\cos \theta}{1 + e \cos \theta} d \theta = -\frac{2\pi}{e} \left(\frac{1}{\sqrt{1- e^2}} - 1 \right); \quad
\int_0^{2\pi} \frac{\cos \theta}{(1 + e \cos \theta)^2} d \theta = - \frac{2\pi e}{ (1- e^2)^{3/2}};\\
\int_0^{2\pi} \frac{\cos \theta}{(1 + e \cos \theta)^3} d \theta = -\frac{3\pi e}{ (1- e^2)^{5/2}}; \quad
\int_0^{2\pi} \frac{\cos \theta}{(1 + e \cos \theta)^4} d \theta = -\frac{\pi e (4 + e^2)}{ (1- e^2)^{7/2}}.
\end{align*}