В этой экспериментальной задаче измеряется масса. Так же мы измеряем массу, используя резонансные кривые гармонического осциллятора.

Экспериментальная установка

Ниже приведен список оборудования (рис. 1). Количество элементов указано в квадратных скобках, если их два или более.

1. Монтажная пластина: Примечание: блок магнитов на пластине создает не зависящее от высоты однородное радиальное магнитное поле. Гарантируется, что это верно вблизи центра магнитной пары в области $\pm 3~ \mathrm {мм}$ по высоте.
2. Опора осциллятора
3. Гайка [2]: Примечание: Удалите 2 и 3 из 1 в полученной упаковке для дальнейшего использования.
4. Шайба [6]
5. Цилиндрический осциллятор
6. Резинка [6]
7. Указатель (с клейкой частью) [2]
8. Грузик [5]
9. Пинцет
10. Зеркало
11. Подставка
12. Блок питания (БП): С двумя режимами: DC (постоянный ток) и AC (переменный ток). В режиме DC он работает как источник постоянного тока. Ручка с надписью «DC Vol» регулирует ток. Величина тока получается из напряжения между «DCmon» и «DC GND» с использованием коэффициента преобразования $1.00~ \mathrm{A/V}$. В режиме AC он работает как источник с фиксированной амплитудой. Поверните «AC Vol», чтобы отрегулировать напряжение. Переменный ток получается из напряжения между «ACmon» и «AC GND» с использованием коэффициента преобразования $0.106~ \mathrm{A/V}$. Частота (Freq.) настраивается с помощью ручек грубой (Coarse) и точной (Fine) настройки.
13. Держатель батареек [2]
14. Батарейка [8]
15. Провод с U-образным наконечником [2]
16. Провод с зажимом типа «крокодил» [2]
17. Мультиметр: Поверните ручку, чтобы выбрать соответствующий режим измерения: «DCV», «ACV» и «Hz». Обратите внимание, что отображаемое значение напряжения переменного тока указывает среднеквадратичное значение (RMS), т. е. действующее значение.

Используемая модель

Рис. 2 представляет собой упрощенную модель экспериментальной установки. По сути, это осциллятор (груз) на пружине с вынуждающей силой.

Соответствующие параметры модели:

• $M$: масса (цилиндрического) осциллятора
• $m$: масса грузика
• $N$: количество грузиков
• $g$: ускорение свободного падения
• $k$: эффективная жесткость пружины, относящаяся к вертикальному движению
• $z$: высота осциллятора (или смещение)
• $z_{\mathrm{e}}$: высота осциллятора, на которой устанавливается баланс сил в отсутствии гравитационных и электромагнитных сил
• $B(B')$: магнитное поле, приложенное к основной (контрольной) катушке
• $L(L')$: длина токоведущего провода основной (контрольной) катушки
• $I(I')$: ток, протекающий через основную (контрольную) катушку
• $\alpha$: положительный коэффициент силы сопротивления

Уравнение движения имеет вид $$(M+Nm) \frac{{\mathrm d}^2z}{{\mathrm d}t^2} = \ -(M+Nm)g \ -k(z-z_{\mathrm e}) \ +BLI\ +B'L'I' \ - \alpha\frac{{\mathrm d}z}{{\mathrm d}t}.$$

Сборка осциллятора

1. Снимите опору осциллятора с монтажной пластины. Оберните четыре резинки вокруг неё в виде сетки (см. рис. 3(a)).
2. Вставьте цилиндрический осциллятор со стороны шкалы в квадратное отверстие между перекрещенными резинками. Разместите выводы проводов не с той стороны цилиндра, где находится шкала. (рис. 3(b)).
3. Осциллятор предназначен для подвешивания на опоре с помощью четырех резинок и восьми маленьких крючков (обведены красным на рис. 3(c)). При правильной сборке одна петля резинки образует усеченный ромб с двумя крючками выше и ниже уровня поддержки на виде сбоку. Примечание: В этом эксперименте мы можем предположить, что эффективная сила, создаваемая резинками, подчиняется закону Гука.
4. Прикрепите опору осциллятора к монтажной пластине двумя гайками. Шкала должна стоять вертикально сверху, а не со стороны крепежных стоек (рис. 3(d)).
5. Поставьте осциллятор вертикально. Его ось должна быть выровнена по вертикали и совмещена с осью магнитного блока.
6. Основная катушка в состоянии покоя должна располагаться посередине двух магнитов. Это можно проверить измерив расстояние между верхней поверхностью нижнего магнита и нижней поверхностью осциллятора от 3 до 5 мм (рис. 3(e)). Красная стрелка). Если оно маленькое, поместите шайбы между стойкой монтажной пластины и опорой (рис. 3(f), красные стрелки). Если оно большое, поверните стойку магнита, чтобы снять ее, и добавьте шайбу под стойку (рис. 3(f), желтая стрелка).
7. Обнажите липкую поверхность двустороннего скотча на указателе (рис. 4(a)). Приклейте указатель к маленькому выступу на осцилляторе, чтобы измерять высоту (рис. 4(b)).
8. Установите зеркало на подставку (рис. 4(c)). Обеспечьте четкую видимость указателя сверху через зеркало (рис. 4(d), красный кружок).

Подключение проводов

1. Найдите и осторожно потяните соответствующую пару проводов, ведущих к основной (M) и контрольной (C) катушкам (рис. 3(c)) из внутренности осциллятора (рис. 3(b)). Проверьте, зачищена ли изоляция со свободных концов.
2. Ослабьте гайки на зажимных стойках M+ и M-, чтобы получились зазоры. Используйте нижние зазоры для проводов от катушки (рис. 5(a), (b)). Проверка полярности будет ниже.
3. Таким же образом соедините клеммы с маркировкой C+ и C-. (Допускается любая полярность.)
4. Поместите батарейки в держатели батареек и соедините их с БП (CN1, CN2) (рис. 5(c)).
5. Соедините клеммы M+ и M- с выходами постоянного тока БП (DC+ и DC-) с помощью проводов с U-образными клеммами.
6. Включите режим DC и включите БП.
7. Вращайте ручку «DC Vol.» для регулирования тока. Посмотрите, смещается ли осциллятор вверх на $2\:\mathrm{мм}$ или больше. Если вниз - поменяйте полярность и повторите заново.

Предостережение: Горячие детали. Остерегайтесь катушек и магнитов.
Уменьшите величину постоянного тока до минимума в конце каждого шага.

Проверка колебаний

1. Подсоедините клеммы M+ и M- к выходу переменного тока (AC+ и AC-) с помощью проводов с U-образными клеммами.
2. Выберите режим AC и включите БП.
3. Поверните ручку с надписью «AC Vol.» по часовой стрелке, начиная с минимума до четверти оборота. Настройте частоту с помощью ручки управления «Coarse», чтобы начать колебание.
4. Отрегулируйте выходное напряжение переменного тока и частоту так, чтобы амплитуда колебаний была приблизительно $A=3\:\mathrm{мм}$ (Рис.6). Если колебания нестабильны, отрегулируйте их настройкой генератора.
5. Отсоедините M+ и M- и подключите клеммы C+ и C- к выходу переменного тока.
6. Включите блок питания и снова проверьте колебания.

Часть A. Закон Гука и электромагнитные силы (2.4 балла)

A1 Схематично нарисуйте в бланке ответов силовые линии магнитного поля, создаваемого двумя одинаковыми дисковыми магнитами с северными полюсами, обращенными друг к другу.

A2 Подсоедините контакты M+ и M- к выходу постоянного тока. Соедините мультиметр с выводами для считывания показаний в режиме DC при помощи проводов с разъемами типа «крокодил» (рис. 7). Считайте высоту осциллятора $z$ при нулевой силе тока без грузиков, т.е., $N=0$. Запишите результат в Таблицу A.2. Поместите груз ($N=1$) на круглую полку внутри цилиндра, и запишите высоту $z$ при которой осциллятор находится в покое. Чему равно значение силы тока $I$, протекающего через основную катушку, чтобы вернуть осциллятор назад, в положение без грузиков? Повторите измерения увеличивая $N$ до $5$ и заполните Таблицу A.2.

A3 Постройте график зависимости высоты $z$ от количества грузиков $N$. По графику определите коэффициент наклона $ a = \frac{\Delta z}{\Delta N}$ и оцените его погрешность.

A4 Постройте график зависимости силы тока $I$ от количества грузиков $N$. Из графика получите значение $b$, определяемое как $b = \frac{I}{N}$ и оцените погрешность.

Часть B. ЭДС индукции (3.0 балла)

B1 Предположим, что переменный ток определенной частоты $f$ подается на контрольную катушку без груза. Высота осциллятора меняется со временем по синусоидальному закону $$z-z_0 = A \sin (2\pi f t)$$где $z_0$ – высота положения равновесия, $A$ – амплитуда колебаний. Запишите выражение для амплитуды ЭДС индукции $V$ в основной катушке.

B2 Подсоедините контакты C+ и C- к выходу переменного тока. Подсоедините мультиметр к выводам «Fmon» и «AC GND», чтобы считывать частоту. Отрегулируйте как частоту переменного тока, так и выходное напряжение, чтобы получить устойчивые колебания соответствующей амплитуды. Измерьте частоту $f_{\mathrm B}$ и запишите ее в лист ответов. Соедините мультиметр с выводами M+ и M-. При фиксированной частоте изменяйте выходное напряжение. Снимите зависимость амплитуды колебаний $A$ от переменного напряжения $V' (V'=V/\sqrt{2})$, индуцированного в основной катушке. Заполните Таблицу B.2 соответствующим образом.

B3 Постройте график зависимости напряжения $V'$ от амплитуды $A$. По графику получите значение $c$ определённое как $ c = \frac{V'}{A}$ и оцените погрешность.

B4 Вычислите величину $BL$ и её погрешность используя результаты пункта B.3.

B5 Используя результаты пунктов A.3, A.4, и B.4, вычислите $m$ и $k$ и оцените погрешности. Если потребуется, используйте значение ускорения свободного падения $g=\mathrm{ 9.80~ \text{м}/\text{с}^2}$.

Часть C. Резонансная частота, зависящая от массы (2.3 балла)

Для следующих экспериментов используйте основную катушку для возбуждения осциллятора. Измените подключение соответствующим образом.

C1 Запишите выражение для резонансной частоты $f$ осциллятора с $N$ грузиками. Используйте постоянный коэффициент жесткости $k'$, который при движении отличается от $k$.

C2 Запитайте осциллятор, подключив источник переменного тока к основной катушке. Измерьте резонансную частоту $f$, для разных значений $N=0$ до $5$, и запишите значения в Таблицу C.2. Избегайте подпрыгивания грузиков.

C3 Используя результаты пункта C.2, постройте график, из которого можно будет получить величины $\frac{M}{k'}$ и $ \frac{m}{k'}$. Запишите полученные значения в лист ответов. Если вам необходимо рассчитать какие-либо дополнительные величины, используйте пустые ячейки Таблицы C.2.

C4 Чему равна величина $ \frac{M}{m}$? Вычислите $M$ и $k'$ используя результаты пункта B.5.

Часть D. Резонансные характеристики (2.3 балла)

Если на осциллятор без грузиков действует периодическая сила амплитудой $F_{\mathrm {AC}}$ и частотой $f$, то амплитуда осцилляций $A$ хорошо описывается резонансной кривой:

$$A(f) = \frac{F_{\mathrm {AC}}}{8\pi ^2 Mf_0} \cdot \frac{1}{\sqrt{(f-f_0)^2+(\Delta f)^2}}.$$

Здесь $\Delta f = \frac{\alpha}{4 \pi M}$. Данное выражение выполнятся для частот, для которых $|f-f_0| \ll f_0$ .

В этой части будет использована резонансная кривая для получения массы осциллятора $M$. Будем считать, что выражение (3) всегда применимо.

D1 Запитайте осциллятор, подключая источник переменного тока к основной катушке. Подстройте частоту и выходное напряжение для получения резонанса приемлемой амплитуды. Измерьте и запишите напряжение $V'_{\mathrm {AC}}$ между выводами “ACmon” и "AC GND" в лист ответов. Используя результаты пункта B.4 и коэффициент $0.106~ \mathrm{A/V}$, вычислите амплитуду $F_{\mathrm {AC}}$ периодической электромагнитной силы, действующюю на осциллятор.

D2 Запишите в Таблицу D.2 амплитуду $A$ в зависимости от частоты осциллятора $f$. Амплитуда вынуждающей силы $F_{\mathrm {AC}}$ должна поддерживаться постоянной в ходе всего эксперимента. Постройте график зависимости амплитуды $A$ от частоты $f$.

D3 Используя результаты D.1 и D.2, получите $M$.