Pho.rs: Свойства коллоидных частиц

A1 ^0.80 Рассмотрим ситуацию, когда молекула воды сталкивается с частицей в момент времени $t=t_0$ и передаёт импульс $I_0$. После столкновения $F(t) = 0$. Если скорость до столкновения $v(t) = 0$, то после столкновения $v(t) = v_0 e^{-( t-t_{0})/\tau}$ для времён $t > t_0$. Найдите $v_0$ и $\tau$, используя $I_0$ и необходимые параметры из выражения (1).

За счет начального импульса $I_0$ частица приобретает скорость $v_0 = I_0/M$, далее движение описывается уравнением $$ M\dot{v} = - \gamma v, $$ откуда $$ v = v_0 = $$

A2 ^0.80 На самом деле происходит множество столкновений молекул воды с частицей, одно за другим. Столкновение с номером $i$ передаёт импульс $I_i$ и происходит в момент времени $t_i$. Найдите $v(t)$ при условии, что $v(0) = 0$. Явно укажите неравенство для $t_i$, которое должно быть выполнено для заданного $t$. В листе ответов не обязательно указывать данный диапазон в выражении для $v(t)$.

B1 ^1.00 Найдите $\langle\Delta x(t)\rangle$ и $\langle\Delta x(t)^2\rangle$, результат выразите через $C$, $\delta$, и $t$.

B2 ^0.80 Величина $\langle\Delta x(t)^2\rangle$ называется среднеквадратичное смещение (mean square displacement, MSD). Эта величина наблюдается в случае броуновского движения и в предельном случае $\delta\rightarrow0$. Можно показать, что $C\propto\delta^{\alpha}$ и $\langle\Delta x(t)^2\rangle \propto t^\beta$. Найдите численные значения $\alpha$ и $\beta$.

C1 ^0.50 Найдите $N_+(x_0)$, выразите через $v,\:\delta,\:n(x_0)$, и $\frac{dn}{dx}(x_0)$.

C2 ^0.70 Найдите $J_D(x_0)$, при необходимости выразите через $C,\:\delta,\:n(x_0)$, и $\frac{dn}{dx}(x_0)$. Используя это и выражение (4), выразите $D$ через $C$ и $\delta$. Также найдите $\langle\Delta x(t)^2\rangle$ через $D$ и $t$.

C3 ^0.50 Выразите $\frac{dn}{dx}(x)$ через $n(x)$, $T$, $Q$, $E$, и $k$.

C4 ^0.50 Для определения $u$, будем использовать выражение (1), в котором $F_\text{ext}(t) = QE$. Так как $v(t)$ флуктуирует, будем рассматривать $\langle v(t)\rangle$. Считая что $\langle v(0)\rangle=0$ и используя $\langle F(t)\rangle =0$, найдите $\langle v(t)\rangle$ и получите $u = \lim_{t\to\infty} \langle v(t) \rangle$.

C5 ^0.50 Условие баланса потоков записывается как $J_D(x) + J_Q(x) = 0$. Выразите коэффициент диффузии $D$ через $k$, $\gamma$, и $T$.

D1 ^1.00 Оцените значение $N_A$ с точностью до двух значащих цифр, не используя тот факт, что это постоянная Авогадро. Используйте данные Рис. 3. Универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж/(К\cdot моль)$. Не используйте значение постоянной Больцмана $k$ из таблицы констант. Имейте ввиду, что вы можете получить значение постоянной Авогадро, отличное от табличного.

D2 ^0.80 Выразите среднеквадратичное смещение $\langle\Delta x(t)^2\rangle$ через $u$, $D$, и $t$. Получите приближенные степенные выражения для маленьких $t$ и больших $t$. Кроме того, получите характерное время $t_{*}$, при котором происходит изменение. Нарисуйте качественный график зависимости среднеквадратичного смещения от времени в логарифмических координатах. Укажите на нём положение $t_{*}$.

D3 ^0.60 Рисунок 5 показывает среднеквадратичное смещение $\langle\Delta x(t)^2\rangle$ микроба. Для маленьких, больших и промежуточных $t$ выполняются разные степенные законы. Получите эти выражения для каждого временного диапазона. Выразите выражения через $D, u_0, \delta_0$ и $t$.

E1 ^1.50 Добавление хлорида натрия ($\mathrm{NaCl}$) в суспензию приводит к коагуляции коллоидных частиц. Определите минимальную концентрацию $c$ хлорида натрия, необходимую для коагуляции. Достаточно рассмотреть две частицы в отсутствие тепловых флуктуаций, то есть $F(t)=0$ в выражении (1). Считайте, что для данного потенциала конечная скорость достигается мгновенно.

Свойства коллоидных частиц

Решение