Оборудование

1. Гироскоп (волчок)
2. Нитка длиной около $90~ см$
3. Нитка длиной около $10 ~см$
4. Подставка с остриём
5. Груз массой $m_1$ (около $1~ кг$)
6. Секундомер с памятью этапов (до 30 этапов)
7. Струбцина быстрозажимная
8. Линейка
9. Скрепка
10. Кусочек пластилина
11. Зубочистка

Теоретическое введение

В прямом переводе слово гироскоп — прибор для обнаружения вращения. В широком смысле гироскопом называется быстро вращающееся твердое тело, ось которого может менять положение в пространстве. Гироскоп, в особенности, когда на него действуют внешние силы, может совершать удивительные движения, кажущиеся на первый взгляд неожиданными и непонятными. Вся теория гироскопов построена на векторном уравнении для момента импульса относительно точки опоры $O$:
$$\frac{\mathrm d\vec{L}}{\mathrm dt} = \vec{M} .\tag{1}$$Здесь $\vec{M}$ — сумма моментов внешних сил относительно точки $O$, $\vec{L}$ — момент импульса относительно точки $O$. Если ось вращающегося волчка отклонена от вертикали, то под действием силы тяжести ось описывает в пространстве круговой конус с вертикальной осью. Такое движение волчка называют вынужденной прецессией.

Экспериментальные советы:

1. Для раскручивания волчка на его оси проделано отверстие, проденьте в него конец длинной нити (не привязывайте ничего к оси волчка!) и намотайте ее на ось волчка, повесьте на другой конец нити груз, отпустите волчок, держа гироскоп за защитную оболочку, и дайте волчку раскрутиться под тяжестью груза. 
2. В частях 2 и 3 волчок должен находиться на специальной подставке с торчащим острием, для установки на это острие на оси симметрии гироскопа в защитной оболочке имеется круглое отверстие, после раскручивания волчка устанавливайте его этим отверстием на острие.
3. Для того, чтобы вам не пришлось повторять ваши измерения, советуем устанавливать гироскоп на подставку/подвес сразу же после разгона, пока угловая скорость волчка не успеет измениться.
4. В части D вам понадобится измерить угол наклона гироскопа, пластилин и зубочистка даны вам именно для этих целей (при необходимости зубочистку можно укорачивать).
5. Подвешивайте гироскоп на горизонтально вкрученный в подставку саморез.
6. К особенностям движения гироскопа нужно привыкнуть, человеческий мозг, не привыкший встречаться с гироскопами в повседневной жизни, воспринимает их как обычные тела, не обладающие большим моментом инерции, и пытается ими так же управлять, что зачастую приводит к многократному падению гироскопа на пол. Пожалуйста, во избежание поломок оборудования:
   • Подстраховывайте гироскоп, стоящий на подставке, рукой, крепко удерживайте защитную оболочку за пластиковую часть при разгоне гироскопа.
   • Перед тем, как пытаться «поправить» гироскоп на подставке, сначала подумайте, как надо приложить к нему силу для того, чтобы он отклонился в нужную сторону.
   • Не касайтесь быстро вращающихся частей гироскопа.

Часть A. Период прецессии (1 балл)

Далее используйте следующие обозначения:

• $I$ – момент инерции ротора волчка относительно оси симметрии;
• $\omega$ – угловая частота вращения ротора волчка вдоль оси симметрии;
• $m = 127 ~ г$ – общая масса ротора и рамы волчка;
• $g = 9.81 ~ м/с^2$ – ускорение свободного падения;
• $r$ – расстояние от точки опоры $O$ до центра масс волчка.

Также используйте следующие приближения:

1. Пренебрегите силой трения, учитывайте только силу тяжести. Тогда $\vec{M} = [\vec{r}, m \vec{g}]$.
2. Считайте, что момент импульса волчка $\vec{L}$ направлен вдоль оси волчка, а его модуль $|\vec{L}| = I \omega$.
3. Пренебрегите потерями энергии: считайте, что модуль момента импульса остаётся постоянным.

A1 Теоретически получите выражение для периода прецессии волчка $T_1$.

A S

Часть B. Момент инерции волчка (4 балла)

B1 Раскрутите волчок с помощью груза $m_1$ и измерьте период его прецессии. Используя эти данные и проведя необходимые дополнительные измерения геометрических размеров, определите момент инерции ротора волчка $I$ и частоту вращения волчка (в $Гц$) в эксперименте.

A S

B2 До какой максимальной частоты удаётся раскрутить волчок, дёргая за нить рукой? Ответ выразите в герцах.

A S

Часть C. Момент силы трения (3 балла)

Момент силы тяжести только поворачивает момент импульса волчка. Момент силы трения между ротором и рамой изменяет его модуль.

C1 Раскрутите волчок и поставьте на подставку. Постройте график зависимости частоты вращения ротора волчка (в $Гц$) от времени до того момента, как частота уменьшится в $2$ раза.

A S

C2 На основе графика сделайте качественный вывод о зависимости момента силы трения, действующего на ротор, от скорости вращения волчка. Определите средний момент силы трения.

A S

Часть D. Другая прецессия (2 балла)

Чтобы наблюдать другой вид прецессии волчка, его нужно подвесить на нитке за железный обруч и отклонить на угол $\alpha$ от вертикали.

D1 Теоретически выведите формулу для периода прецессии $T_2$ в этом случае.

A S

D2 Экспериментально исследуйте зависимость периода прецессии $T_2$ от угла $\alpha$.

A S