Мы обсудим стабильность тяжелых ядер и оценим массу нейтронных звезд теоретически и из экспериментальных данных.
Энергия покоя ядра $m(Z,N) c^2$, состоящего из $Z$ протонов и $N$ нейтронов, меньше суммы энергий покоя протонов и нейтронов, далее будем называть их нуклонами, на энергию связи $B(Z,N)$. Здесь $c$ — скорость света в вакууме. Игнорируя малые поправки, мы можем приблизить энергию связи суммой объемного вклада с коэффициентом $a_V$, поверхностного вклада с коэффициентом $a_S$, электростатической (кулоновской) энергии с коэффициентом $a_C$, и симметричного слагаемого с коэффициентом $a_{\rm sym}$ следующим образом.
\[m(Z,N) c^2 = A m_N c^2 - B(Z,N) ,\qquad B(Z,N) = a_V A - a_S A^{2/3} - a_C \frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{\mathrm{sym}} \frac{(N-Z)^2}{A},\tag{1}\]
где $A=Z+N$ — массовое число, $m_N$ — масса нуклона. При вычислениях, используйте $a_V \approx 15.8 \;МэВ$, $a_S \approx 17.8 \;МэВ$, $a_C \approx 0.711 \;МэВ$, и $a_{\rm sym} \approx 23.7 \;МэВ$ (МэВ = $10^6$ электронвольт).
Очень тяжелые ядра с массовым числом $A>A_c$, где $A_c$ — пороговое значение, могут оставаться стабильными относительно распада при достаточно большой гравитационной энергии связи.
Некоторые нейтронные звезды являются пульсарами, испускающими электромагнитные волны, которые мы для простоты будем называть светом, с постоянным периодом. Нейтронные звезды часто образуют двойные системы с белыми карликами. Рассмотрим конфигурацию звезд, показанную на рисунке 1. Импульс света от нейтронной звезды N движется к Земле E и проходит мимо белого карлика W (White Dwarf) в двойной системе. Проводя измерения с этими импульсами, можно точно определить массу W, как это объясняется дальше, с помощью чего можно оценить массу N.
Будем считать, что изначально наблюдатель находится с часами-$F$ и расположен на той же высоте, что и часы-I, его начальная скорость равна нулю. Поскольку часы одинаковы, при измерении они дают одинаковые промежутки времени $\Delta\tau_F = \Delta\tau_{\rm I}$. Затем часы-$F$ начинают свободно падать. Будем работать в свободно падающей системе отсчета F, которую будем считать инерциальной. В этой системе отсчета часы-II пролетают мимо часов-F со скоростью $v$, так что величину замедления времени часов-II можно определить с помощью преобразований Лоренца. Тогда для F, пока проходит время $\Delta\tau_{\rm I}$ по часам-F, по часам-II проходит время $\Delta\tau_{\rm II}$.
Выразите $\Delta\tau_{\rm II}$ через $\Delta\tau_{\rm I}$ с точностью до членов первого порядка по $\Delta\phi/c^2$, где $\Delta\phi=g\Delta h$ — разность гравитационных потенциалов, т.е. гравитационных энергий, приходящихся на единичную массу.
Как показано на рисунке 1(a), выберем ось $x$ вдоль направления распространения света от нейтронной звезды N к Земле E и поместим начало координат $x=0$ в точке, где белый карлик W ближе всего к световому лучу. Пусть $x_N \,(<0)$ — $x$-координата N, $x_E\, (>0)$ — координата E, и $d$ — расстояние между W и световым лучом.
Найдите изменение времени распространения света $\Delta t$ от N к E, вызванное белым карликом массы $M_{WD}$ и упростите полученный ответ, пренебрегая членами высших порядков по следующим малым параметрам: $d/|x_N| \ll 1$, $d/x_E \ll 1$, и $GM_{WD}/(c^2 d) \ll 1$. Если потребуется, используйте следующую формулу.
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+d^2}} = \frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{\sqrt{x^2+d^2}+x}{\sqrt{x^2+d^2}-x}\biggr) + C.$$