Оборудование: набор резисторов и макетных плат, батарейка крона на $\approx 9~\text{В}$, мультиметр.
Рассмотрим конечную цепь из резисторов сопротивлениями $r$ и $R$ и попытаемся найти распределение напряжения в ней.
Данная задача несмотря на видимую сложность допускает точное решение, которое вам предстоит выполнить. Для этого рассмотрим элементарную ячейку нашей цепи.
Примечание: нумерация звеньев начинается с $i=0$. А ток, втекающий в цепь, равен $I_0$.
Решения уравнения вида
$$ I_{i+1} + \alpha I_{i} + \beta I_{i-1}=0 $$ обладают двумя важными свойствами. Во-первых, если последовательность $I_n$ — решение этого уравнения, то последовательность $C \cdot I_n$ — тоже решение этого уравнения, где $C$ — любое число. Во-вторых, если последовательности $I_n$ и $J_n$ — решения этого уравнения, то последовательность $I_n + J_n$ — тоже решение этого уравнения.
В таком случае угадав достаточное количество принципиально разных решений мы можем записать общее решение, как линейную комбинацию угаданных решений. Угадывать решения предлагается в виде $I_n=\lambda^n$. В математике доказывается теорема, что угадав все возможные $\lambda$ вы сможете записать $\textbf{любое}$ решение рассмотренного уравнения. В нашем случае любое решение уравнения будет иметь вид:
$$ I_n = C_1 \lambda_1^n + C_2 \lambda_2^n, $$ где $C_1$ и $C_2$ – константы, находящиеся из граничных условий.
Теперь будем собирать схему, эквивалентную рассмотренной в теории. Решение для $I_n$ имеет большой экспоненциально падающий член и малый экспоненциально растущий, который значительно сказывается только для $n \approx N$.