В архиве ЦПМК 2011 года была обнаружена задача, в которой описывалось довольно странное устройство для экспериментов с идеальным газом.
Закрытая снизу тонкостенная цилиндрическая трубка длиной $L$, установленная вертикально, жёстко соединена с закреплённым цилиндрическим сосудом, ось которого также вертикальна, а диаметр во много раз превышает диаметр трубки (см. рис.). Верхняя часть трубки расположена на расстоянии $l$ выше дна сосуда. В трубке без трения может перемещаться тонкий лёгкий герметичный поршень. Под поршнем находится воздух, который можно считать идеальным газом. В верхней части трубки расположены небольшие упоры, ограничивающие движение поршня вверх.
В стенке сосуда вблизи его дна проделано небольшое отверстие. С помощью тонкой трубочки через отверстие сосуд очень медленно наполняют ртутью, а затем так же медленно понижают уровень ртути в сосуде до его дна.
Далее везде $h$ обозначает уровень ртути в сосуде относительно верхней части трубки, а $x$ – расстояние между поршнем и упорами. Считайте, что в процессе изменения уровня ртути в сосуде температура воздуха под поршнем и атмосферное давление остаются постоянными.
Параметры установки: $L=3{,}04~м$, $l=0{,}04~м$, атмосферное давление $p_0$ равно гидростатическому давлению столба ртути высотой $h_0=p_0/\rho g=0{,}76~м$, где $\rho$ – плотность ртути, а $g$ – ускорение свободного падения. Величины $p_0$, $\rho$ и $g$ считайте неизвестными.
Во всех пунктах задачи приведите как аналитические выражения, так и численные значения для ответов.
Изначально ртути в сосуде и над поршнем нет, а давление воздуха под поршнем превышает величину атмосферного давления. В пунктах $1-3$ считайте, что когда уровень ртути в сосуде достиг максимального значения $h_{max}=1{,}52~м$, расстояние между поршнем и упорами составило $x_{max}=2{,}28~м$.
