$$(1+x)^{\varepsilon}\approx1+\varepsilon x,\,\,\mathrm{где} \:|x|\ll1.$$
Рассмотрим большой сосуд с водой (water), который находится в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения $g$. Две прямоугольные параллельные друг другу вертикальные пластины вставлены в сосуд так, что никакая жидкость не может входить или выходить из зазора между торцами пластин и стенками сосуда. Каждая пластина погружена в воду на глубину $h$ (рис. 1). Размер пластин по оси $y$ равен $w$. Плотность воды $\rho_0$.
Масло (oil) плотности $\rho_{\mathrm{oil}}\:(\rho_{\mathrm{oil}}<\rho_{0})$ заливается в пространство между пластинами до тех пор, пока нижняя граница масла не достигнет нижнего края пластин. Считайте, что пластины и стенки сосуда достаточно высоки, чтобы масло не переливалось через них. Поверхностным натяжением и перемешиванием жидкостей можно пренебречь.
На рис. 2 показано поперечное сечение срединно-океанического хребта. Он состоит из трёх слоев: мантии (mantle), коры (crust) и воды (water). Мантия состоит из породы, которую на геологических временных масштабах можно считать текучей, а, значит можно считать жидкостью в рамках задачи. Толщина коры (твердые породы) намного меньше характерного масштаба длины в $x$-направлении, следовательно, кора ведет себя как свободно изгибаемая пластина. С высокой точностью такой гребень можно смоделировать как двумерную систему без каких-либо изменений переменных вдоль оси $y$, которая перпендикулярна плоскости рис. 2. Любая длина в этой задаче намного меньше чем длина гребня $L$ (вдоль оси $y$).
В центре хребта толщина коры равна нулю. По мере увеличения горизонтального расстояния $x$ от центра толщина коры становится больше и равна $D$ при $x\rightarrow\infty$. Соответственно, дно океана опускается на $h$ ниже вершины хребта O. В вершине хребта разместим начало координат (рис. 2). Плотность воды $\rho_0$, её температура $T_0$, плотность мантии $\rho_1$, её температура $T_1$постоянны во времени и пространстве. Температура коры $T$ постоянна во времени и зависит от координат.
Материал земной коры расширяется линейно с температурой $T$: $l(T)=l_{1} \left[1-k_{l} (T_{1}-T)\ /(T_{1}-T_{0})\right]$, где $ l $ — длина куска материала земной коры, $l_{1}$ — его длина при температуре $T_1$, $k_l$ — постоянный коэффициент теплового расширения, приведённый к разности температур.
A2 0.60 Считая, что материал коры изотропен, найдите, как плотность коры $\rho$ зависит от ее температуры $T$. Предполагая, что $|k_l|\ll1$, напишите свой ответ в приблизительной форме. $$\rho(T)\approx\rho_1 \left[1+k\frac{T_1-T}{T_1-T_0}\right],$$ где члены порядка $k_l^2$ и выше не учитываются. Определите константу $k$.
Известно, что $k>0$. Теплопроводность коры равна $\kappa$ и постоянна. Как следствие, достаточно далеко от оси хребта температура коры линейно зависит от глубины.
Предположим, что кора оказалась внезапно термически изолирована от остальной части Земли. В результате теплопроводности температуры верхней и нижней поверхностей коры становятся ближе друг к другу до наступления теплового равновесия. Удельная теплоемкость коры постоянна и равна $c$.
A5 0.90 Используя метод размерностей или анализ по порядку величины, оцените характерное время $\tau$, за которое разница между температурами верхней и нижней поверхностями земной коры на достаточно большом расстоянии от оси хребта приблизится к нулю. Можно считать, что $\tau$ не зависит от двух начальных температур поверхностей коры.
Предположим, что короткое землетрясение произошло на поверхности некоторой планеты. Сейсмические волны создаются линейным источником, расположенным в $z=x=0$, Здесь $x$ — горизонтальная координата и $z$ — глубина под поверхностью (рис. 3). Предполагается, что источник сейсмических волн гораздо длиннее, чем любая другая рассматриваемая длина, в данном вопросе.
В результате землетрясения однородный поток так называемых продольных P-волн испускается по всем направлениям в плоскости $x$-$z$, которые имеют положительную составляющую вдоль оси $z$. Так как теория распространения волн в твердой среде достаточно сложна, в данной задаче пренебрегается всеми другими волнами, возникающими при землетрясении. Скорость P-волны $v$ в коре зависит от глубины $z$ по закону $v=v_0(1+z/z_0)$, где $v_0$ — скорость на поверхности и $z_0$ — известная положительная константа.
B1 1.50 Рассмотрим одиночный луч, испущенный землетрясением, который образует начальный угол $0<\theta_0<\pi/2$ с осью $z$ и распространяется в плоскости $x$-$z$.Чему равна горизонтальная координата $x_1(\theta_0)\ne0$, при которой этот луч может быть обнаружен на поверхности планеты? Известно, что путь луча представляет собой дугу окружности. Запишите ответ в виде $x_1(\theta_0)=A \cdot \text{ctg}(b\theta_0)$, где $A$ и $b$ - постоянные, которые нужно найти.
Если вы не смогли найти $A$ и $b$, в последующем используйте как известную приведённую выше формулу $x_1(\theta_0)=A\cdot \text{ctg}(b\theta_0)$ . Предположим, что полная энергия на единицу длины источника, выделенная в виде P-волн в коре при землетрясении, равна $E$. Предположим, что волны полностью поглощаются, когда они достигают поверхности планеты снизу.
Теперь предположим, что волны полностью отражаются от поверхности. Вообразим прибор, расположенный в $z=x=0$ и имеющий ту же геометрию, что и ранее рассмотренный источник землетрясения. Прибор способен испускать P-волны с любым угловым распределением. Его настроили на испускание сигнала в пределах небольшого начального угла с вертикалью: $[\theta_0-\frac{1}{2}\delta\theta_0,\theta_0+\frac{1}{2}\delta\theta_0]$, где $0<\theta_0<\pi/2$, $\delta\theta_0\ll1$ и $\delta\theta_0\ll\theta_0$.