Logo
Logo

Частицы и волны

Разбалловка

A1  0.40 Определите минимально возможную энергию $E_\mathrm{min}$ частицы в потенциальной яме. Выразите ответ через $m$, $L$ и постоянную Планка $h$.

A1. 1 Соотношение $\lambda_{dB} = \frac{h}{p}$ 0.20
A1. 2 Соотношение $\lambda_{dB} = 2L$ 0.10
A1. 3 Ответ $E_{min} = \frac{h^2}{8 mL^2}$ 0.10
A2  0.60 Найдите выражение для энергии $E_n$ (здесь $n=1,\:2,\:3,\dots$ ).

A2. 1 Соотношение $\lambda_{dB}^{(n)} = \frac{2}{ n} L$ 0.40
A2. 2 Ответ $E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2} = n^2 E_{min}$ 0.20
A3  0.40 Частица может перейти из одного состояния в другое только испустив или поглотив фотон с энергией, отвечающей разности энергий этих состояний. Найдите длину волны $\lambda_{21}$ фотона, испущенного при переходе частицы из первого возбужденного состояния ($E_2$) в основное состояние ($E_1$).

A3. 1 Связь энергии фотона и длины волны $E = \frac{hc}{\lambda}$ 0.20
A3. 2 Ответ $\lambda_{21} = \frac{hc}{E_2 - E_1} = \frac{8 mc L^2}{3 h}$ 0.20
B1  0.80 Найдите наибольшую длину волны $\lambda$ фотона, которую может поглотить молекула Cy5, система электронов которой находится в основном состоянии. Выразите ответ через $l$, физические постоянные и численный множитель и найдите численное значение.

B1. 1 В решении используется, что поглощение отвечает переходу между уровнями $E_5$ и $E_6$.

Если используются любые другие уровни, 0 за этот пункт, но можно все еще получить баллы за правильную формулу и численный ответ для выбранных уровней.
0.50
B1. 2 Правильное выражение
$$
\lambda = \frac{882}{11} \frac{m_e c l^2}{h}
$$
0.20
B1. 3 Численный ответ $\lambda \approx 647 ~нм$ 0.10
B2  0.40 Другая молекула Cy3 имеет аналогичную структуру, но ее цепь атомов короче на 2 атома углерода. В какую сторону (в голубую или в красную) смещается за счет этого спектр поглощения молекулы по сравнению с Cy5? Найдите численно величину $\Delta\lambda$ сдвига спектра поглощения. Можно считать, что при удалении двух атомов углерода форма молекулы не меняется, только углеродная цепь становится короче на два межатомных расстояния.

B2. 1 Правильная формула для длины волны
$$
\lambda_{Cy3} = \frac{8.5^2 \cdot 8}{9} \frac{m_e c l^2}{h}
$$
0.20
B2. 2 Правильный выбор (сдвиг в сторону голубого) 0.10
B2. 3 Численное значение $\Delta \lambda =129~нм $ 0.10
B3  0.70 Используя метод размерности, найдите выражение для скорости спонтанного излучения через $\varepsilon_0 $, $h$, $\lambda$, and $d$. Численный множитель в вашей формуле $

B3. 1 Правильные единицы измерения 0.20
B3. 2 Правильный ответ $$
K=\frac{16 \pi^{3}}{3} \frac{d^{2}}{\varepsilon_{0} h \lambda^{3}}
$$
0.50
B4  0.20 У молекулы Cy5 $d\approx2.4\:el$. Вычислите среднее время спонтанного излучения для первого возбужденного состояния молекулы Cy5, $\tau_\mathrm{Cy5}$, которое является обратным для средней скорости излучательного перехода в основное состояние.

B4. 1 Правильный ответ $\tau \approx 3.3 ~нс$ 0.20
C1  0.40 Рассмотрим газ невзаимодействующих атомов $^{87} \mathrm{Rb}$. Напишите выражение для характерного импульса $p$ и характерной длины де Бройля $\lambda_\mathrm{dB}$ как функцию массы атома $m$, температуры $T$ и физических постоянных.

C1. 1 Идея оценки
$$

p^{2} /(2 m)=3 k_{B} T / 2

$$
0.20
C1. 2 Правильный ответ для импульса
$$
p=\sqrt{3 m k_{\mathrm{B}} T}
$$
0.10
C1. 3 Длина волны де Бройля
$$
\lambda_{\mathrm{dB}}=\frac{h}{\sqrt{3 m k_{\mathrm{B}} T}}
$$
0.10
C2  0.50 Вычислите характерное расстояние между атомами в газе $\ell$, как функцию концентрации атомов $n$. Отсюда найдите критическую температуру $T_c$ в зависимости от массы атомов, их концентрации и физических постоянных.

C2. 1 Объем на одну частицу $V/N$ используется для оценки расстояния между молекулами $l$ 0.20
C2. 2 Выражение $
\ell=n^{-1 / 3}
$ ($n = V/N$)
0.10
C2. 3 Выражение для критической температуры
$$
T_{c}=\frac{h^{2} n^{2 / 3}}{3 m k_{\mathrm{B}}}
$$
0.20
C3  0.60 При какой концентрации $n_c$ атомов Rb переход происходит при такой температуре? Для сравнения также вычислите концентрацию $n_0$ идеального газа при стандартных условиях, то есть $T_0=\mathrm{300\:K}$ и $p_0=\mathrm{10^5\:Па}$. Во сколько раз концентрация идеального газа выше? Считайте, что масса атомов газа равна 87 атомных единиц массы ($m_\mathrm{amu}$).

C3. 1 Правильное выражение для концентрации
$$
n_{c}=\frac{\left(3 \cdot 87 m_{\mathrm{amu}} k_{\mathrm{B}} T_{c}\right)^{3 / 2}}{h^{3}}
$$
0.20
C3. 2 Численное значение $n_c \approx 1.59 \cdot 10^{18} ~м^{-3}$ 0.10
C3. 3 Выражение $n_0 = p/kT$ 0.20
C3. 4 Численное значение $n_0/n_c \approx 1.5 \cdot 10^7$ 0.10
D1  1.40 Используя ур. 2 и 3, получите выражение для потенциальной энергии $V(\vec{r})$ как функцию $vec{r}=(x,y)$ в плоскости пучков.
Подсказка: ответ можно выразить как постоянный вклад плюс сумму трех косинусов, аргумент которых имеет вид $\vec{b}_i\:\cdot\:\vec{r}$. Напишите результат в таком виде и укажите вектора $\vec{b}_i$.

D1. 1 Электрические поля лазеров складываются 0.20
D1. 2 Правильное возведение в квадрат и усреднение 0.60
D1. 3 Правильное выражение для потенциальной энергии
$$
V(\vec{r})=-\alpha E_{0}^{2}\left(\frac{3}{2}+\sum_{j=1}^{3} \cos \vec{b}_{j} \cdot \vec{r}\right)
$$
0.30
D1. 4 Вектора $\vec{b}$ — разности векторов $\vec{k}$ (в любом порядке) 0.30
D2  0.50 Суммарная потенциальная энергия имеет ось симметрии шестого порядка, значит потенциал инвариантен относительно поворотов на углы, кратные 60°, вокруг начала координат. Докажите, что это действительно так, используя простой аргумент.

D2. 4 Убедительный аргумент 0.50
D3  1.20 Найдите потенциал $V(\vec{r})$ на координатных осях, то есть определите функции $V_X(x) \equiv V(x,0)$ и $V_Y(y) \equiv V(0,y)$. Найдите положения экстремумов $V_X(x)$ и $V_Y(y)$, как функций одного аргумента. Поскольку эти функции периодические, для каждого из найденных семейств периодически повторяющихся максимумов и минимумов включите только по одному представителю в лист ответов.

D3. 1 Выражение
$$
V_{X}(x)=-\alpha E_{0}^{2}\left\{\frac{5}{2}+2 \cos \frac{3 k x}{2}\right\}
$$
0.30
D3. 2 Выражение
$$
V_{Y}(y)=-\alpha E_{0}^{2}\left\{\frac{3}{2}+\cos 2 \varphi+2 \cos \varphi\right\}, \quad \varphi=\sqrt{3} k y / 2
$$
0.30
D3. 3 Найдены 6 неэквивалентных экстремумов
$x = 0$, $x = \frac{2\pi}{3k}$, $y = 0$, $y = \frac{2\pi}{\sqrt{3} k}$, $y = \frac{4 \pi }{3 \sqrt{3} k}$, $y = \frac{8 \pi }{3 \sqrt{3} k}$
6 × 0.10
D4  0.80 Используйте результаты из предыдущего пункта, чтобы определить минимумы оптической решетки. Найдите все эквивалентные минимумы, ближайшие к началу координат (но не совпадающие с ним). Найдите расстояние $a$ между ближайшими минимумами (постоянную решетки). Выразите ответ через длину волны лазерного излучения $\lambda_\mathrm{las}$.

D4. 1 Вычисление постоянной решетки $a = \frac{2}{3} \lambda$ 0.40
D4. 2 Указано существование 6 неэквивалентных минимумов 0.20
D4. 3 Правильно показаны положения минимумов 0.20
D4. 4 None
D4. 5 None
D4. 6 None
D5  1.10 Вычислите значение $n$, которое отвечает радиусу Rb атома Ридберга, сравнимую с длиной волны лазерного излучения $\lambda_\mathrm{las}$ = 380 нм. Выразите ответ через $\lambda_\mathrm{las}$ и физические постоянные, и найдите его численное значение.

D5. 1 Выражение для силы, действующей на электрон
$$
F=e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}\right)
$$
0.40
D5. 2 Если не учтено экранирование заряда ядра другими электронами -0.10
D5. 3 Выражение для момента импульса $mvr = n \hbar$ 0.20
D5. 4 Выражение для главного квантового числа
$$
n=\frac{e}{\hbar} \sqrt{\frac{m_{e} \lambda}{4 \pi \varepsilon_{0}}}
$$
0.40
D5. 5 Численный ответ $n \approx 85$ 0.10