Асинхронные двигатели являются наиболее простыми и надежными электродвигателями. Они питаются переменным током, не содержат коммутаторов, контактных колец или кистей, а состоят из статора и ротора (см.рис.1). Статор представляет собой фиксированный набор катушек, создающих вращающееся магнитное поле в плоскости, перпендикулярной оси мотора. Ротор представляет собой просто клетку, т. е. набор замкнутых металлических петель, прикрепленных к оси ротора мотора. Вращающееся магнитное поле, создаваемое статором, индуцирует электрический ток в петлях клетки, которые при этом ведут себя как магнитные диполи и взаимодействуют с внешним магнитным полем статора. В результате на ротор действует момент сил, и он начинает вращаться.
В упрощенной модели (см.рис.2) считайте, что вектор индукции $\vec{B}$ магнитного поля, создаваемого статором, модуль которого постоянен и равен $B$, вращается в плоскости $xy$ с постоянной угловой скоростью $\Omega$. Ось ротора направлена вдоль оси $z$. Считайте, что ротор представляет собой плоскую катушку с площадью площадью поперечного сечения витков $A$, числом витков $N$, омическим сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$. Вектор $\vec{n}$, перпендикулярный катушке, также вращается в плоскости $xy$.
Примечание: Во всех пунктах задачи перечисленные величины считаются известными.
Сначала исследуем стационарную работу двигателя, когда его угловая скорость $\omega$ и усреднённый по периоду момент сил $T=T_z$, действующих на ротор, постоянны. Как мы увидим, когда двигатель нагружен, его угловая скорость $\omega$ становится меньше чем $\Omega$. Этот сдвиг удобно характеризовать скольжением $s$: $$s=\cfrac{\Omega-\omega}{\Omega}{,} $$ где $s$ – безразмерное число от $0$ до $1$. Считайте величину $s$ известной.
Предположим, что двигатель подключен к оборудованию (нагрузке), имеющему линейную характеристику $T_l(\omega)$, поэтому для стационарной угловой скорости $\omega$ необходим момент сил $T_l(\omega)=K\omega$,где $K$ – положительная константа.