При решении данной задачи гравитационными эффектами следует пренебречь. Все объекты считайте однородными и изотропными, если не указано иное.

Часть A. Стержень (2.5 балла)

Тонкий упругий стержень защищён от изгиба. Его длина $L$, плотность $\rho$, и модуль Юнга $E$. Стержень слегка растянули за концы и отпустили. После этого в нём возникли свободные колебания.

A1 Запишите выражение для кинетической энергии стержня как функцию времени, выразив её через массу $m$ стержня, длину $L$ и скорость изменения $\varepsilon$ (здесь $\varepsilon$ – относительное удлинение).

A2 Запишите выражение для потенциальной упругой энергии как функцию времени, выразив её через $m$, $\rho$, $E$ и $\varepsilon$.

A3 Покажите, что для стержня закон сохранения механической энергии приводит к характеристическому дифференциальному уравнению для незатухающих гармонических колебаний. Переходя к аналогии с точечной массой $m$, находящейся под действием силы $\sigma S$ ($\sigma$ – это напряжение, а $S$ – площадь поперечного сечения), укажите величину, которая играет роль координаты.

A4 Запишите выражение для периода малых продольных колебаний стержня, выразив его через $L$, $\rho$ и $E$.

Часть B. Сфера (1.0 балл)

Рассмотрите упругую сферу радиуса $R$, изготовленную из того же материала, что и стержень, о котором шла речь выше. Пусть $\varepsilon$ – относительная деформация $\Delta R/R$. Сферу слегка радиально сжали и предоставили ей свободно колебаться.

B1 Запишите выражение для механической энергии сферы как функцию времени, выразив её через $m$, $R$, $\rho$, $E$, $\varepsilon$ и скорость изменения $\varepsilon$ (здесь $\varepsilon$ – относительное удлинение).

B2 Запишите выражение для периода малых радиальных колебаний сферы, выразив его через $R$, $\rho$ и $E$.

Часть C. Пластина (3.0 балла)

Рассмотрите тонкую упругую прямоугольную пластину, защищённую от изгиба. Пусть размеры пластины $L$ и $l$. Толщину пластины считайте постоянной. Результаты воздействия напряжений $\sigma_x$ и $\sigma_y$ на пластину не являются независимыми, в том смысле, что деформация в одном направлении приводит к деформации в другом направлении. В пределах применимости закона Гука это можно записать, как:\[\varepsilon_x=-\mu\frac{\sigma_y}{E},\hspace{1cm}\varepsilon_y=-\mu\frac{\sigma_x}{E},\]где безразмерный параметр $\mu$ (коэффициент Пуассона) примерно равен $0.3$.

C1 Выразите $\sigma_x$ и $\sigma_y$ через $\varepsilon_x$, $\varepsilon_y$, $E$ и $\mu$.

C2 Запишите систему дифференциальных уравнений, описывающую движение точки массой $m$ в двух взаимно перпендикулярных направлениях, используя в качестве координат эквивалентные величины, определённые в пункте A3.

C3 Найдите возможные значения ω для которых решениями вышеупомянутой
системы являются незатухающие гармонические колебания (моды):
\[\varepsilon_x=A\sin\omega t,\hspace{1 cm}\varepsilon_y=B\sin\omega t.\]Выразите результаты в терминах $L$, $l$, $\rho$, $E$ и $\mu$.

C4 В общем случае, решение вышеупомянутой системы уравнений является суперпозицией двух найденных мод. Для квадратной пластины ($L = l$) и малого коэффициента Пуассона ($µ^2 \ll 1$), выразите период биений через $\mu$ и период $T_\rm{long}$ продольных колебаний стержня той же длины.

Часть D. Сдвиговые колебания (2.0 балла)

D1 Выразите $G$ через $E$ и $\mu$.

D2 Определите период малых сдвиговых колебаний пластины, выразив его через $L$, $\rho$ и $G$. Выразите тот же период через $\mu$ и период колебаний стержня той же длины, испытывающего продольные колебания $T_{\rm{long}}$.

Часть E. Крутильные колебания (1.5 балла)

Стержень радиусом $R$ и длиной $L$, изготовленный из того же материала, подвергли небольшому скручиванию и предоставили совершать свободные крутильные колебания. Угол закручивания $\theta$ определяется как угол, на который скрутился стержень под действием приложенного крутильного напряжения. В этом случае закон Гука примет вид:\[\theta=\frac{1}{C}M,\hspace{1 cm}[C]=[M]=Н\cdotм,\]где $C$ – \textbf{модуль скручивания}.

E1 Определите период малых крутильных колебаний стержня, выразив его через $L$, $\rho$ и $G$.

E2 Выразите модуль скручивания через $R$, $L$, $E$ и $\mu$.