Максимальный балл за задание — 15 баллов.

Впервые вычислить эквивалентное сопротивление электрической цепи (см. рисунок), состоящей из очень большого числа звеньев, было предложено участникам I Международной олимпиады по физике в 1967 году. С тех пор эта задача стала классической. Сегодня же вам предстоит экспериментально исследовать, как зависит сопротивление данной цепи от числа звеньев в ней.

1 Определите сопротивления всех резисторов и проверьте, что все резисторы $r$ и все резисторы $R$ $(r \ll R)$ имеют одинаковые сопротивления в пределах точности измерений мультиметра. Считайте погрешность мультиметра в этом и последующих пунктах равной трём единицам последнего разряда. Если есть резисторы $R$, сопротивление которых отличается больше, чем на $1\%$, попросите их заменить. Вычислите средние значения $R$ и $r$ и их погрешности.

2 Снимите зависимость эквивалентного сопротивления цепи (см. рисунок) $\Omega(n)$ от числа звеньев $n$ для $n = 1, 2, …, 7$. Для $n = 7$ начертите Вашу схему подключения резисторов, проводов и мультиметра на макетной плате. Для этого Вам выдан бланк с напечатанной схемой макетной платы. Резисторы сопротивлением $R$ обозначайте на схеме в виде закрашенных прямоугольников, а резисторы сопротивлением $r$ – в виде незакрашенных. Если схему для $n = 7$ собрать не удалось, то начертите схему подключения для цепи с максимальным числом звеньев. Без начерченной схемы Ваши экспериментальные данные и расчеты не будут оцениваться.

3 Используя средние значения $r$ и $R$ из первого пункта, рассчитайте теоретическое значение $\Omega({\infty})$ сопротивления цепи, состоящей из очень большого ($n \gg 1$) числа звеньев.

4 Нанесите точки снятой зависимости $\Omega (n)$ на график. Соедините эти точки гладкой линией. На этом же графике постройте горизонтальную прямую $\Omega = \Omega({\infty})$. Это тот предел (горизонтальная асимптота), к которой должны стремиться точки измеренной зависимости $\Omega (n)$.

5 В приближении $ n^2 r \ll R$ (считайте, что оно верно для всех $n \le 7$) зависимость эквивалентного сопротивления от количества звеньев принимает вид $\Omega (n)=F(R,\,n)+f(r,\,n)$, где $f(r,\,n)$ - небольшая добавка, равная $f(r,\,n)=\frac{(2n+1)(n+1)}{6n} r$, а $F(R,\,n)$ – основной член, зависящий только от $R$ и $n$. Чему равна функция $F(R,\,n)$?

6 С учётом теоретической зависимости, полученной в предыдущем пункте, подберите такие координаты, в которых измеренная Вами зависимость $\Omega(n)$ будет линейной. Постройте график линеаризованной зависимости.

7 Из графика, построенного в предыдущем пункте, определите сопротивления $r$ и $R$ и их погрешности. Сравните полученные значения $R$ и $r$ с результатами прямых измерений в пункте 1.

Примечание: макетная плата используется для соединения проводов и подключения различных элементов. Каждые пять соседних гнёзд макетной платы, расположенные в одном столбце внутри платы, соединены между собой (на рисунке серым цветом отмечен один из таких столбцов). Гнёзда макетной платы, расположенные в двух крайних строках платы с каждой её стороны, промаркированные красным и синим цветами, также соединены между собой. Если красная и синяя маркировки прерываются, то соединение гнёзд в двух крайних строках платы сохраняется только в промаркированных областях. 

Оборудование: макетная плата, 7 пар резисторов $r$ и  $R$ $(R \gg r)$ в зип-пакете, мультиметр с проводами типа ”банан-крокодил", пара соединительных проводов для макетной платы.