Как показано на рисунке, запаянная тонкостенная однородная стеклянная трубка согнута в полуокружность радиусом $r$ ($r$ много больше радиуса трубки) и поставлена на землю вертикально. Внутри трубки находится поршень массой $m$ (толщиной поршня можно пренебречь), который соприкасается с её стенками герметично и без трения.

Положение поршня внутри трубки задаётся углом $\theta$ с вертикалью. С обеих сторон от поршня находится по $n$ молей идеального газа, температура которого во всех процессах считается равной температуре окружающей среды $T$.

Ускорение свободного падения равно $g$, универсальная газовая постоянная равна $R$, все процессы считайте квазистатическими.

Центральное положение поршня в трубке ($\theta=0$) будет устойчивым, только если температура $T$ превышает некоторое критическое значение $T_c$.

1 Найдите выражение для $T_c$ и угловую частоту $\omega_0$ малых колебаний поршня вблизи положения равновесия $\theta=0$.

2 Будет ли положение $\theta=0$ устойчивым при $T=T_c$?

В дальнейшем считайте параметр $T_c$ известной величиной, через которую можно выражать ответы.

3 Найдите неявное уравнение для положения устойчивого равновесия $\theta_0$ при $T < T_c$. Получите приближённое выражение (первое нетривиальное слагаемое в разложении по $T-T_c$) при температурах, немного меньших $T_c$ (т.е. $T_c-T\ll T_c$).

4 Найдите зависимость угловой частоты малых колебаний $\omega_0$ от $\theta_0$ в случае $T < T_c$. Ответ должен содержать $\theta_0$ и не должен содержать $T$.

5 Получите упрощённые выражения для зависимости $\omega_0$ от температуры $T$ в случаях $T_c-T\ll T_c$ и $T-T_c\ll T_c$.

Пусть $T < T_c$, и поршень отпускают с очень малой скоростью из положения $\theta=0$.

6 Найдите угловую скорость поршня в положении $\theta$.