Как показано на рисунке, частица массой $m$ и зарядом $e$ движется в поле электрического диполя $\vec p$, закреплённого в начале координат. Дипольный момент направлен по оси $z$, а зависимость положения частицы от времени задаётся радиус-вектором $\vec r(t)$. Угол между радиус-вектором частицы и осью $z$ обозначим $\theta(t)$.
В начальный момент времени $r(t=0)=r_0 > 0$, $\theta(t = 0) =\theta_0$.
Диэлектрическая проницаемость вакуума равна $\varepsilon_0$. Поле и потенциал электрического диполя задаются формулами:\[\vec E=\frac{3(\vec p\cdot\hat r)\hat r-\vec p}{4\pi\varepsilon_0 r^3},\qquad\varphi = \frac{(\vec p\cdot\vec r)}{4\pi\varepsilon_0 r^3},\]где $\hat r\equiv \vec r/r$.
Пусть частица совершает равномерное движение, при котором её траектория – окружность с центром на оси $z$, перпендикулярная этой оси.
1
Найдите скорость частицы $v_0$ и угол $\theta_0$.
Пусть теперь частица неподвижна в начальный момент времени $t=0$.
2
Определите зависимость момента импульса частицы $L$ от угла $\theta$ при её дальнейшем движении.
3
Найдите зависимость радиальной скорости частицы $v_r$ от расстояния до начала координат $r$ при её дальнейшем движении.
4
При каком условии на начальный угол $\theta_0$ движение частицы будет финитным?
5
В случае инфинитного движения определите зависимость от времени расстояния $r(t)$ от частицы до начала координат.
