Решим сначала вспомогательную задачу. Идеально проводящий шар радиуса $a$ помещают во внешнее магнитное поле $\vec B_e=B_e\hat z$. Возникающие при этом вихревые токи должны скомпенсировать поле внутри проводника. Снаружи проводника эти токи создают дополнительное магнитное поле $\vec B'$, эквивалентное полю точечного магнитного диполя $\vec m$. Можете считать известной формулу для поля магнитного диполя:\[\vec B'=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}\bigg[3(\vec m\cdot\hat r)\hat r-\vec m\bigg].\]

1 Считая $B_e$ известным, найдите магнитный момент $m$ и распределение плотности тока по поверхности проводника.

Вернёмся к исходной задаче.

2 Найдите магнитную индукцию $B$, создаваемую катушкой в центре левитирующего проводника в момент времени $t$.

3 Считая, что положение проводника практически не меняется, найдите амплитуду тока $I_0$, при которой возможна левитация проводника. Можете считать известной формулу для силы, действующей на диполь в магнитном поле:\[\vec F=m\frac{\mathrm dB(z)}{\mathrm dz}\hat z.\]

Для расчёта тепловых эффектов возникающих вихревых токов необходимо учитывать их пространственное распределение внутри проводника. Для простоты будем считать, что вихревые токи текут однородно в области толщиной $\delta$ у поверхности.

4 Найдите выражение для средней тепловой мощности Джоулевых потерь в системе. Ваш ответ не должен содержать $\delta$.