Pho.rs: Радуга с формулами Френеля

Условие

Если после дождя в воздухе находится большое число мелких водяных капель, то наблюдатель, стоящий спиной к Солнцу, будет видеть радугу. Иногда радуга бывает двойной (рис. 1): первичная внутренняя радуга возникает при одиночном отражении солнечного света внутри капель, вторичная внешняя радуга – при двойном отражении света. Радуги, возникающие в результате трёх и более отражений внутри капель, можно воссоздать лишь в лаборатории – они практически не наблюдаются в природе.

Рис. 1. Двойная радуга

Рассмотрим сферическую каплю воды диаметром $10^2~мкм$. Исследуем траекторию луча света в плоскости, проходящей через луч и центр капли (рис. 2). При каждом попадании на границу капли свет частично отражается и частично преломляется. Обозначим угол отклонения $k$ раз отражённого света как $\theta_{k}$, а угол падения света – как $i$. Показатель преломления воды равен $n$.

Рис. 2. Путь луча в капле воды

1 Выразите $\theta_k$ через $n$, $k$ и $i$.

Зависимость угла отклонения от угла падения имеет экстремум $(i_k,\theta_{km})$.

2 Найдите значения $i_k$ и $\theta_{km}$.

Из-за дисперсии показатель преломления воды $n$ зависит от длины волны.

3 Найдите величины $\cfrac{\mathrm d\theta_k}{\mathrm dn}$ и $\cfrac{\mathrm d\theta_{mk}}{\mathrm dn}$.

Рассмотрим рассеяние каплей параллельного пучка света (рис. 3). В такой системе радуга возникает под углами $\theta_k$ к изначальному направлению распространения пучка. Пусть показатель преломления воды для красного и фиолетового света равен соответственно $n_{r}=1.329$ и $n_{v}=1.344$.

Рис. 3. Прохождение параллельного пучка через каплю

4 Для $k=1,2$ вычислите положения красной $\theta_{mk,r}$ и фиолетовой $\theta_{mk,v}$ полос радуги. Вычислите ширину радуги $\delta_k=|\theta_{mk,r}-\theta_{mk,v}|$. В каком порядке будут расположены её цвета? Приведите численные ответы в градусах с точностью $0.01^\circ$.

Если наблюдать радугу через поляризатор, то можно обнаружить, что свет радуги частично поляризован, даже если падающий свет был естественным.

5 Вычислите степень поляризации $P_k$ красного света радуги для $k=1,2$.

Примечание: степень поляризации $P$ определяется как\[P=\left|\frac{I_s-I_p}{I_s+I_p}\right|,\]где $I_{s,p}$ – интенсивность $s$-, $p$-поляризованного света.

Для решения задачи вам могут понадобиться формулы Френеля для амплитудных коэффициентов отражения ($r$) и прохождения ($t$) $s$-,$p$-поляризованного света, падающего из среды $1$ в среду $2$:\[r_{s}=\left|\frac{n_{1}\cos\varphi_{1}-n_{2}\cos\varphi_{2}}{n_{1}\cos\varphi_{1}+n_{2}\cos\varphi_{2}}\right|,\quad t_{s}=\frac{2n_{1}\cos\varphi_{1}}{n_{1}\cos\varphi_{1}+n_{2}\cos\varphi_{2}}\\r_{p}=\left|\frac{n_{2}\cos\varphi_{1}-n_{1}\cos\varphi_{2}}{n_{2}\cos\varphi_{1}+n_{1}\cos\varphi_{2}}\right|,\quad t_{p}=\frac{2n_{1}\cos\varphi_{1}}{n_{2}\cos\varphi_{1}+n_{1}\cos\varphi_{2}}\]Здесь $n$ – показатель преломления среды, $\varphi$ – угол падения$/$преломления луча в среде.

В некоторых ситуациях рядом с краем радуги могут возникать «лишние» узкие цветные дуги (рис. 4). Это явление называется дополнительной радугой.

Рис. 4. Дополнительная радуга

6 Качественно объясните механизм возникновения дополнительной радуги.