Logo
Logo

Цветное стекло

Условие

Цветное стекло можно получить, добавляя в него примеси металлов (к примеру, золота, серебра, меди и т.д.). Электроны в атомах примеси могут колебаться в резонансе с электрическим полем световой волны и тем самым поглощать некоторые компоненты падающего на стекло белого света.

Рассмотрим однородный шар радиусом $R$, состоящий из диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_r$. Шар помещают в однородное внешнее поле $E_0$. Диэлектрическая проницаемость вакуума известна и равна $\varepsilon_0$.

1 Найдите напряжённость электрического поля $\vec E_{in}$ внутри шара и его дипольный момент $\vec p$.

Рассмотрим теперь однородный металлический проводник с концентрацией электронов $n$. Электроны имеют массу $m$ и заряд $-e$ ($e > 0$). Из-за взаимодействия с кристаллической решёткой на них действует сила сопротивления $\vec f=-\gamma m\vec v$, где $\vec v$ — скорость движения электронов. Взаимодействием между электронами пренебрегите.

2 Найдите равновесную плотность тока $\vec j$ в металлическом проводнике, в котором создано электрическое поле $\vec E$. Найдите проводимость металла $\sigma_0$ в этом случае.

Пусть теперь в металлическом проводнике создано электрическое поле с амплитудой $\vec E_m$ и угловой частотой $\omega$:\[\vec E(t)=\operatorname{Re}\left(\vec E_me^{i\omega t}\right).\]Плотность тока в металле при этом будет иметь вид:\[\vec j(t)=\operatorname{Re}\left(\vec j_me^{-\omega t}\right).\]Тогда можно ввести комплексную проводимость металла $\sigma$ как $\vec j_m=\sigma\vec E_m$.

3 Найдите комплексную проводимость металла $\sigma(\omega)$. Выразите ответ через $\omega$, $\gamma$, $\varepsilon_0$ и $\omega_p\equiv\sqrt{\cfrac{ne^2}{\varepsilon_0m}}$.

Такое движение электронов как единого целого приводит к возникновению объёмного дипольного момента (поляризации):\[\vec P(t)=\operatorname{Re}\left(\vec P_m e^{i\omega t}\right).\]Связь между комплексными амплитудами вектора поляризации и электрического поля задаётся как $\vec P_m=\chi\varepsilon_0 \vec E_m$, где $\chi$ — комплексная диэлектрическая восприимчивость металла. Комплексная амплитуда вектора электрической индукции будет при этом равна $\vec D_m=\varepsilon_0\vec E_m+\vec P_m=\varepsilon_r\varepsilon_0\vec E_m$, однако теперь диэлектрическая проницаемость $\varepsilon_r$ тоже является комплексной величиной и зависит от $\omega$.

4 Найдите комплексную диэлектрическую проницаемость металла $\varepsilon_r(\omega)$. Выразите ответ через $\omega$, $\gamma$, $\varepsilon_0$ и $\omega_p=\sqrt{\cfrac{ne^2}{\varepsilon_0m}}$.

Пусть теперь наночастицы радиусом $R$ из рассматриваемого материала помещаются в плоскую гармоническую электромагнитную волну с угловой частотой $\omega < \omega_p$ и амплитудой $\vec E_0$ (длина волны $\gg R$, $\gamma\ll\omega$). Взаимодействием наночастиц и излучением пренебрегите.

5 Определите амплитуду электрического поля $E_{in}(\omega)$ внутри наночастиц.

При некоторой частоте $\omega=\omega_r$ происходит резонанс и амплитуда $E_{in}$ достигает максимума.

6 Найдите резонансную частоту $\omega_r$.

7 Найдите амплитуду электрического поля $E_r$ внутри частицы в резонансе.

8 Определите среднюю мощность тепловыделения $P_r$ в частице в резонансе.