Новые модели электромобилей могут использовать генератор для рекуперации энергии при торможении. В упрощённом виде принцип работы генератора показан на рисунке. Катушка из $n$ витков имеет форму прямоугольника размерами $a\times b$ и находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярной оси вращения катушки. Ось вращения катушки делит сторону $b$ в соотношении $2:1$. В качестве нагрузки к катушке подключено сопротивление $R$. Считайте, что вся кинетическая энергия автомобиля расходуется на выработку электроэнергии генератором. Масса электромобиля равна $M$. Самоиндукцией катушки пренебрегите.

Пусть в начальный момент времени катушка перпендикулярна магнитному полю и вращается с угловой скоростью $\omega$.

1 Найдите зависимость напряжения на концах катушки $U(t)$ от времени.

Когда электромобиль затормозил до скорости $v_1$, катушка провернулась на угол $\theta_1\in(0,\pi/2)$ и вращалась с угловой скоростью $\omega_1$.

2 Найдите ускорение электромобиля $a_c$ в этот момент.

Пусть теперь электромобиль тормозит так, что катушка при этом вращается с постоянной угловой скоростью $\omega_2$ и успевает сделать ровно $N$ оборотов до остановки.

3 Найдите начальную скорость электромобиля $v_2$.

Пусть теперь электромобиль тормозит так, что катушка при этом вращается с угловой скоростью $\omega_2$ на первом витке, $\omega_2/2$ на втором витке, $\omega_2/4$ на третьем витке и т.д. К моменту полной остановки электромобиля катушка совершила $N$ полных оборотов и $N+1$-тый неполный оборот.

4 Найдите диапазон возможных начальных скоростей автомобиля $v_2$.