Согласно общей теории относительности, свет при прохождении рядом со сферически симметричным массивным объектом отклоняется в сторону этого объекта на малый угол\[\epsilon=\frac{R}{r},\]где $R=4GM/c^2$, $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса объекта, $c$ – скорость света в вакууме, а $r$ – минимальное расстояние от луча света до центра объекта.

Для численных расчётов используйте следующие значения:

• $c=3\cdot10^8~м\cdot с^{-1}$
• $G=6.67\cdot10^{-11}~Н\cdot м^2\cdot кг^{-2}$
• парсек $1~пк=3.09\cdot10^{16}~м$
• угловая секунда $1''=\frac{2\pi}{360\cdot3600}~рад$

Если источник излучения, массивный объект и телескоп находятся на одной прямой, можно наблюдать кольца Эйнштейна. Угловой радиус кольца Эйнштейна равен $\theta_E=31.53''\cdot10^{-3}$, расстояние до массивного объекта (белого карлика) равно $d_L=5.52~пк$, а расстояние до источника света – $d_S=2\cdot10^3~пк$.

1 Найдите и вычислите массу белого карлика $M$.

Гравитационное линзирование можно промоделировать осесимметричной линзой, показанной на рис. 2. Здесь $x$ – ось симметрии. Левая поверхность линзы на расстоянии $r < r_0$ непрозрачна, правая поверхность – перпендикулярна оси $x$. Показатель преломления материала линзы равен $n_0 > 1$. Луч света, падающий на линзу параллельно оси $x$ на расстоянии $r$ от неё, преломляется на малый угол $\epsilon=R/r$.

2 Найдите форму левой поверхности линзы $x(r)$ при $r > r_0$, если $x(r_0)=0$. Выразите ответ через $r$, $n_0$, $R$ и $r_0$.

Альтернативно гравитационное линзирование можно промоделировать плоскопараллельной пластинкой с осесимметричным распределением показателя преломления $n(r)$, показанной на рис. 3. Толщина пластинки равна $D$. Левая поверхность пластинки на расстоянии $r < r_1$ непрозрачна, показатель преломления $n(r_1)=n_1$. Луч света, падающий на пластинку перпендикулярно ей на расстоянии $r$ от центра симметрии, преломляется на малый угол $\epsilon=R/r$.

3 Найдите показатель преломления пластинки $n(r)$ при $r > r_1$. Выразите ответ через $r$, $n_1$, $R$, $r_1$ и $D$.