При различного рода деформациях в твёрдом теле возникают напряжения. Пусть при деформировании некоторая точка тела, которая имела координату $x$, смещается на величину $s$. Если бы смещение было одним и тем же для всех точек тела, мы получили бы просто параллельный перенос твёрдого тела. Предположим поэтому, что в соседней точке с координатой $x+ dx$ смещение несколько отличается от $s$ и равно $s+ds$. Деформация в точке по определению равна:
\[\varepsilon = \frac{ds}{dx}.\]
Силы, которые производят деформации растяжения (сжатия), называются растягивающими (сжимающими) силами. Напряжения, соответствующие этим видам сил, определяются как сила, отнесённая к единице соответствующей площади:
\[\sigma = \frac{F}{S}\]
Понятие напряжения имеет перед понятием силы то преимущество, что его можно установить локально в каждой точке. Оно определяется как локальный вектор силы, действующей на единицу площади некоторой воображаемой плоскости внутри тела.
Деформации и напряжения твёрдого тела связаны соотношением:
\[\sigma = E \varepsilon,\]
где величина $E$ называется модулем Юнга.
Рассмотрим деформации и напряжения в бруске. Пусть однородное и изотропное тело имеет форму параллелепипеда. Перпендикулярно к его противоположным граням приложены силы $F_x$, $F_y$ и $F_z$. Соответствующие им напряжения обозначим $\sigma_x$, $\sigma_y$ и $\sigma_z$. Определим деформации, которые возникают под действием этих сил. Полагая деформации малыми, воспользуемся принципом суперпозиции малых деформаций.
Направим координатные оси параллельно рёбрам параллелепипеда. Пусть $l_x$, $l_y$ и $l_z$ – длины этих рёбер.
Если бы действовала только сила $F_x$, то ребро $l_x$ получило бы приращение $\Delta_1 l_x$, определяемое соотношением
\[\frac{\Delta_1 l_x}{l_x} =\frac{\sigma_x}{E}.\]
Если бы действовала только сила $F_y$, то размеры бруска, перпендикулряные к оси $y$, сократились бы. В частности, ребро $l_x$ при этом получило бы отрицательное приращение $\Delta_2 l_x$, которое можно вычислить по формуле
\[\frac{\Delta_2 l_x}{l_x} = - \frac{\mu \sigma_y}{E},\]
где $\mu$ называется коэффициентом Пуассона. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через $E$ и $\mu$. Относительное приращение ребра $l_x$ под действием только одной силы $F_z$ было бы равно
\[\frac{\Delta_3 l_x}{l_x} =-\frac{\mu \sigma_z}{E}.\]
Если все силы действуют одновременно, то согласно принципу суперпозиции малых деформаций результирующее удлинение ребра $l_x$ будет равно
\[\Delta l_x=\Delta_1 l_x+\Delta_2 l_x+\Delta_3 l_x.\]
Аналогично вычисляются удлинения рёбер $l_y$ и $l_z$. В результате находим
\[
\begin{cases}
\varepsilon_x = \dfrac{\sigma_x}{E} - \dfrac{\mu }{E} (\sigma_y + \sigma_z)\\[2pt]
\varepsilon_y = \dfrac{\sigma_y}{E} - \dfrac{\mu }{E} (\sigma_x + \sigma_z)\\[2pt]
\varepsilon_z = \dfrac{\sigma_z}{E} - \dfrac{\mu }{E} (\sigma_x + \sigma_y)
\end{cases}
\]
Эти уравнения называются обобщённым законом Гука.
В этой части задачи вам предлагается рассмотреть частные случае деформаций упругих тел и найти коэффициенты упругости в таких случаях.
A1
1.00
Рассмотрите случай деформации всестороннего сжатия, когда все напряжения $\sigma_x$, $\sigma_y$,$\sigma_z$ равны и отрицательны (на брусок действует постоянное давление со всех сторон $P= -\sigma_x=-\sigma_y=-\sigma_z$). Модулем всестороннего сжатия называется величина $K$, которая определяется из соотношения:
\[\frac{\Delta V}{V}= - \frac{P}{K},\]
где $V$ – объём бруска. Определите модуль всестороннего сжатия $K$ через $E$ и $\mu$.
A2
1.00
Рассмотрите случай деформации одноосного растяжения. В этом случае однородный стержень может растягиваться или сжиматься только в одном направлении, в направлении оси, которую примите за координатную ось $x$. Поперечные размеры стержня не меняются! (этому мешает окружающая среда). Модулем одностороннего растяжения называется величина $E'$, которая определяется из соотношения:
\[\frac{\Delta l_x}{l_x} =\frac{\sigma_x}{E'} .\]
Определите модуль одностороннего растяжения $E'$ через $E$ и $\mu$.
B3
2.00
Пусть нейтральная линия и нейтральное сечение проходят через центр тяжести поперечного сечения бруса. Тогда сумма сил в одном сечении равно нулю. Выразите в интегральной (интеграл по площади сечения, $dS$ – элемент площади для интегрирования) форме момент сил натяжения действующих на сечение $AB$. Выразите ответ через $E$, $\xi$, $\alpha$, $R$, $l_0$.
Обратите внимание на получившийся в предыдущем пункте интеграл. Введём обозначение $I=\int \xi^2 dS$. Величина $I$ называется моментом инерции поперечного сечения бруса по аналогии с соответствующей величиной, вводимой при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. Однако, в отличие от последней величины, имеющей размерность массы умноженной на квадрат длины, $I$ есть чисто геометрическая величина с размерностью четвертой степени длины. Определите $I$ для разных форм поперечных сечений бруса:
