Logo
Logo

Эффективный цикл

Условие

Как известно, КПД является отношением полезной работы, совершаемой рабочим телом, к количеству подведённой к нему теплоты. Нестрого говоря, этот коэффициент определяет то, насколько эффективно «переводится» в работу поступающее от некоторого нагревателя тепло.

В данной задаче рассматривается цикл, проводимый с идеальным газом, состоящий из двух изобар и двух изохор (см. рис. 1). Показатель адиабаты газа известен и равен $\gamma$. Предположим, что отведение тепла от газа происходит с помощью холодильной машины, работающей по обратному циклу Карно между газом и окружающей средой. Пусть $A_г$ — работа, совершаемая газом за один описанный цикл, а $A_{хм}$ — работа, совершаемая над рабочим телом холодильной машины за один цикл рабочего тела. При этом подвод тепла к газу осуществляется за счет теплообмена с окружающей средой. В этом случае логично ввести вместо КПД «эффективность» цикла $\eta$:
$$\eta = \frac{A_г}{A_{хм}}.$$

Считайте, что изменение температуры газа за один цикл холодильной машины пренебрежимо мало.

Рис. 1

A1 Выразите молярную теплоёмкость используемого газа в изобарном процессе $C_P$ и в изохорном процессе $C_V$ через $R$ и $\gamma$.

Пусть максимальная температура в цикле равна температуре окружающей среды $T$, при изохорном охлаждении температура уменьшается с $T$ до $T-t_1$, при изобарном охлаждении — с $T-t_1$ до $T-t$.

A2 Выразите отношения $p_2/p_1$ и $V_2/V_1$ (обозначения рис. 1) через $T$, $t_1$ и $t$.

Пусть количество газа равно $\nu$.

A3 Выразите работу $A_г$ через $\nu$, $R$, $T$, $t_1$ и $t$.

Для холодильной машины определяется холодильный коэффициент $\chi$ по формуле:
$$\chi = \frac{Q_{-}}{A_{хм}},$$
где $Q_{-}$ — отведенная от газа за один цикл теплота.

A4 Определите $\chi$ в момент, когда температура газа равна $T-\tau$. Ответ выразите через $\tau$, $T$.

A5 Определите $A_{хм}$. Ответ выразите через $\nu$, $R$, $\gamma$, $T$, $t_1$ и $t$.

Введём обозначения $y = t/T$ и $x=t_1/t$.

A6 Выразите $\eta$ для описанной системы через $x$, $\gamma$ и $y$. Вычислите его значение для $\gamma = 5/3$, $x=0.5$, $y=0.5$.

Теперь проанализируем, какая максимальная $\eta$ может быть получена при различных значениях $y$ и $x$. Считайте известным, что наилучшая $\eta$ достигается при $y \ll 1$.

A7 Найдите зависимость $\eta(x)$ при $y \ll 1$ . Ответ выразите через $\gamma$ и $x$.

При необходимости вы можете использовать формулу: $\ln \left(1+\xi \right) \approx \xi - \xi^2/2$ при $\xi\ll1$.

A8 Определите, при каком $x$ эффективность $\eta$ будет максимальна. Ответ выразите через $\gamma$.

A9 Найдите максимально возможную эффективность $\eta_{max}$. Ответ выразите через $\gamma$. Вычислите ее значение для $\gamma = 5/3$.