В данной задаче рассматривается упрощенная модель тропического циклона. В этой модели циклон рассматривается как гигантская тепловая машина, работающая по циклу Карно.

Масса сухого воздуха $\Delta m$ перетекает вдоль поверхности океана из области высокого давления ($A$) в область низкого давления ($B$), близкую к центру шторма $O$ (рис. 1), захватывая по пути влагу (пары воды). Вместе с парами у океана отбирается теплота $Q_1$. Воздушные массы, насыщенные водяными парами, поднимаются в тропосферу (участок $BC$). В тропосфере (участок $CD$) они разряжаются тропическим ливнем, отдавая при этом энергию $Q_2$.

A1 Используя первый закон термодинамики, найдите выражение для $Q_1$ (см. рис. 2) через

• $L$ – удельная теплота испарения,
• $\Delta q$ – масса влаги захваченной воздушной массы $\Delta m$ на пути от $A$ к $B$
• $P_A$ и $P_B$ – давление в т. $A$ и т. $B$ соответственно.

Используйте универсальную газовую постоянную $R$, температуру $T_1$ поверхности моря, молярную массу $M$ воздуха.

A2 Найдите полную работу, произведенную за один цикл Карно тепловой машиной над массой воздуха $\Delta m$.

A3 Предполагая, что работа, произведенная тепловой машиной, полностью идет на увеличение кинетической энергии воздушной массы, получите выражение для скорости $v_B$ воздуха в центральной части циклона («глаз» циклона).

A4 Полагая $v_A = 0$, найдите численное значение $v_B$, используя следующие данные: $T_1=273~\text{К}$, $T_2=213~\text{К}$, $R=8.31~\text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})$, относительная влажность воздуха в т. $B$ $\varphi=75\%$, при $T = T_1$ давление насыщенных паров $P_Н = 42~\text{мбар}$, $P_A = 1000~\text{мбар}$, $P_B = 950~\text{мбар}$, средняя молярная масса воздуха $M = 29 \cdot 10^{-3}~\text{кг} \cdot \text{моль}^{-1}$, молярная масса воды $M_\text{в}=18 \cdot 10^{-3}~\text{кг}\cdot\text{моль}^{-1}$, удельная теплота испарения воды $L = 2.26 \cdot 10^6~\text{Дж}\cdot\text{кг}^{-1}$, плотность сухого воздуха $\rho=1.3~\text{кг}/\text{м}^3$ ($1~\text{бар} = 10^5~\text{Па}$).

A5 Полагая, что азимутальная скорость $v$ и радиальное расстояние $r$ от центра циклона связаны соотношением $v\sqrt{r} = \text{const}$, и что скорость $v_A$ на внешнем крае циклона равна $10~\text{м}/\text{с}$, вычислите эффективный радиус циклона (примите $r_B = 10~\text{км}$).