По одной из моделей в первые «дни» нашей солнечной системы, Солнце массы $М$ и диаметра $D$ было окружено большим покоящимся газо-шаровым облаком. Для простоты будем считать, что газ был одноатомный, идеальный (молекулярная масса газа $\mu$), а суммарная масса всего газа много меньше $М$.

В этой задаче вам предлагается определить распределение газа в зависимости от расстояния $r$ от Солнца. Будем считать, что $r \gg D$.

A1 На этом этапе считайте температуру в облаке везде постоянной и равной $T_0$, а распределении плотности газа в облаке $\rho=\rho_0 e^{\alpha/r}$. Определите значение параметра $\alpha$.

A2 Есть существенный недостаток в указанном распределении плотности газа в облаке. Укажите его.

A3 В улучшенной модели, предположим, что Солнце испускает $J_0$ тепловой энергии в секунду. Также допустим, что потери теплоты отсутствуют, т.е. вся энергия солнечного излучения передаётся газу а распределение температуры стационарно. Определите плотность потока тепловой энергии на расстоянии $r$ от Солнца.

A4 Плотность потока тепловой энергии $I(r)$ в пункте А3 пропорциональна градиенту температуры, т.е.
\[ I(r) = -\sigma \frac{dT}{dr} ,\]
где $\sigma$ – положительная постоянная величина, называемая теплопроводностью. Знак минус возникает из-за того, что теплота передается от области с большей температурой области с меньшей температурой. Определите температуру $T$ на расстоянии $r$ от Солнца.

A5 Теперь будем считать, что давление в облаке изменяется по закону:
\[p = p_0 \left( \frac{r}{r_0} \right)^{-\beta}.\]
Определите параметр $\beta$ и распределение плотности газа.

A6 Из пункта А4 следует, что на некотором расстоянии $r_1$ от Солнца температура облака станет меньше температуры плавления льда на Земле в нормальных условиях. Оцените $r_1$. Средний радиус орбиты какой планеты из Солнечной системы ближе всего к $r_1$? Светимость Солнца $J_0=8.846 \cdot 10^{26}~\text{Вт}$, $\sigma =5 \cdot 10^{11}~\text{Вт}/(\text{м} \cdot \text{К})$. Среднее расстояние от Солнца до планет приведено в таблице.

Вам могут пригодиться следующие формулы:
\[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{где } n \neq -1\]
\[ \int x^{-1} dx = \ln |x| + C \]