Солитон — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде. В данной задаче мы получим некоторые характерные свойства этих объектов.

Часть А. Математический маятник

Решение уравнения математического маятника (груза на невесомом стержне в однородном поле) не выражается в элементарных функциях в общем случае. Поэтому обычно рассматривают малые колебания вблизи положения равновесия. Однако имеется частный случай, а именно когда в нижней точке груз имеет скорость $v=\sqrt{4gL}$ при длине стержня $L$. В этом случае решение можно представить в виде:
\[
\varphi(t)=a \arctan {e^{bt}},
\]
где $\varphi$ - угол между вертикальной осью и стержнем (в нижней точке $\varphi=\pi$, а моменту $t=0$ соответствует прохождение нижней точки).

A1  ^1.00 Выразите константы $a$ и $b$ через $g$ и $l$.

Часть В. Динамика солитона

Рассмотрим длинную жесткую горизонтальную струну, к которой через равные промежутки $b$ припаяны одинаковые спицы расположенные вертикально. Масса спицы $m$, расстояние от центра масс спицы до струны $d$, момент инерции относительно оси проходящей через струну $I$. При отклонении одной спицы от соседней на угол $\Delta\varphi$ струна создает крутящий момент $K\Delta\varphi$. Если спицы на одной половине струны перевернуть на полный оборот, то на границе раздела образуется солитон (рис. 1). Можно считать, что характерный размер солитона $\lambda\gg b$. Так что считайте, что угловая координата в точке $x$ задается непрерывной функцией $\varphi(x,t)$ (удаленные спицы на одной половине струны имеют координату $\varphi(-\infty,t)=2 \pi$, а на другой $\varphi(+\infty,t)=0$).

B1  ^1.00 Напишите уравнение движения для $\varphi(x,t)$.

Солитон может распространяться с постоянной скоростью $v$. В этом случае $\varphi(x,t)=f(x\pm vt)$ в зависимости от направления распространения.

B2  ^0.50 Постройте качественный график зависимости $\varphi(x)$ для покоящегося солитона.

B3  ^2.00 Найдите максимальную скорость $v_{cr}$ с которой может распространяться такой солитон.

В дальнейшем можете использовать $v_{cr}$ в ваших ответах.

B4  ^2.00 Пусть при нулевой скорости характерный размер солитона равен $\lambda_0$. Найдите размер $\lambda$ солитона движущегося со скоростью $v$.

B5  ^2.00 Пусть энергия покоящегося солитона равна $E_0$. Найдите энергию солитона, движущегося со скоростью $v$.

Примечание: За ноль потенциальной энергии в гравитационном поле примите уровень прямой, проходящей через центры масс спиц, расположенных достаточно далеко от солитона.

Часть С. Взаимодействие солитонов

Результаты, полученные в предыдущей части, показывают, что солитон очень похож на частицу. Более того, мы можем рассмотреть антисолитон, у которого спицы закручены в другую сторону. Мы будем говорить, что такой солитон имеет противоположный заряд.

C1  ^0.50 Укажите притягиваются или отталкиваются покоящиеся солитоны с противоположными зарядами.

C2  ^1.00 Рассмотрим неподвижные солитоны с противоположными зарядами, находящиеся на расстоянии $R\gg \lambda$ друг от друга. Оцените характер силы взаимодействия между солитонами.