В физике часто приходится иметь дело со случайными величинами, а многие закономерности носят, как говорят, вероятностный характер. Такими случайными величинами являются, например, число молекул воздуха в $1~см^3$ при нормальных условиях, число распадов какого-либо радиоактивного вещества за секунду, число ударов молекул о стенку сосуда за единицу времени, число космических частиц, регистрируемых счётчиком Гейгера. В области микромира, подчиняющегося законам квантовой механики, в принципе невозможно указать точное положение микрочастицы, а можно лишь говорить о вероятности её нахождения в том или ином месте пространства. Но, несмотря на совершенно непредсказуемое поведение отдельных частиц, благодаря огромному количеству участвующих в этих явлениях частиц и случайному характеру их поведения, удаётся получить устойчивые связи и закономерности, управляющие этими явлениями, а также практически с любой точностью рассчитать входящие в эти законы как физические, так и математические константы.

В данной работе изучается случайная величина, которая может принимать лишь определенные, или, как говорят, дискретные значения. Необходимо получить и построить в виде графика (гистограммы) закон распределения $w(n)$ этой случайной величины (здесь $w(n)$ – вероятность того, что случайная величина принимает значение $n$). И, наконец, в работе по результатам измерений определятся важная математическая константа, и оценивается её погрешность.

A1 Приподнимите пучок 10 зубочисток в вертикальном положении на высоту $20-25$ см над расчерченным листом бумаги и отпустите. Зубочистки после падения случайным образом распределятся по листу бумаги (см. фото). Подсчитайте число $n$ зубочисток, пересекающих линии (на рисунке таких пересечений $n=6$). Повторите эти испытания не менее $N=30$ раз (имейте в виду, что, чем больше испытаний $N$ вы проведёте, тем больше будет точность результатов).

A S

A2 Постройте график, откладывая по оси абсцисс значение измеренной случайной величины $n$, а по оси ординат – долю случаев (частоту) $w(n)=m_{n} / N,$ в которых встречается это значение случайной величины (здесь $m_{n}$ – число измерений, в которых измеренное значение оказалось равным $n$). При большом числе $N$ измерений $w(n)$ является мерой вероятности, с которой случайная величина принимает значение $n$. Зависимость $w(n)$ представляет собой закон распределения случайной величины $n$.

Пояснение. Лучше всего этот график представить в виде гистограммы – совокупности вертикально стоящих прямоугольников: ширина прямоугольника равна единице, а высота – $w(n)$. Например, прямоугольник высотой $w(2)$, расположенный между 1.5 и 2.5 (по оси абсцисс) характеризует случаи, в которых случайная величина принимает значение, равное 2; а прямоугольник высотой $w(3)$, расположенный между 2.5 и 35 – случаи с $n=3$ и т.д.

A S

A3 Определите среднее значение $n_{ср}$ случайной величины.

A S

A4 Оцените среднеквадратичную погрешность $\sigma$ средней величины $n_{ср}$. Запишите результат эксперимента в виде:
$$n=n_{ср} \pm \sigma$$Среднеквадратичную погрешность для большого числа измерений $N$ можно вычислить по формуле:
$$\sigma=\sqrt{\frac{\left(n^{2}\right)_{ср}-n_{ср}^{2}}{N}}$$

A S

A5 Найдите экспериментальное значение вероятности $w_{экс}$ того, что зубочистка пересекает линию.

A S

A6 Рассчитайте теоретическое значение вероятности $w_{теор}$ того, что зубочистка пересекает линию.

A S

A7 Используя результаты измерений, рассчитайте число $\pi$ и среднеквадратичную погрешность найденного значения $\sigma_{\pi}$. Результат запишите в виде:
$$\pi=\pi_{ср} \pm \sigma_{\pi}.$$

A S

Оборудование

1. 10 зубочисток
2. Лист бумаги с параллельными линиями, расстояние между которыми равно длине зубочистки.