Pho.rs: Термическое оксидирование

A1 ^0,20 Покажите, что тангенциальные компоненты волновых векторов не изменяются на границе диэлектрик-диэлектрик: $k_{1y}=k_{2y}=k_{3y}$.

A1. 1 Корректное доказательство с указанием на выполнение граничных условий в любой точке поверхности.

0,20

А2 ^0,40 Найдите выражения для $k_{1x}$, $k_{2x}$ и $k_{3x}$. Выразите через $\omega$, $c$, $\theta_1$, $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $\varepsilon_3$.

А2. 0 Указывается или используется постоянство частоты при переходе через границу сред	0,10
А2. 2 Получен ответ $k_{1x} = \dfrac{\sqrt{\varepsilon_1} \omega}{c} \cos\theta_1$.	0,10
А2. 3 Получены ответы: $$k_{2x}=\cfrac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_2-\varepsilon_1\sin^2{\theta_1}},\\ k_{3x}=\cfrac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_3-\varepsilon_1\sin^2{\theta_1}}.$$	2 × 0,10

A3 ^0,60 Для волны с $s$ поляризацией (электрическое поле направлено вдоль поверхности) из граничных условий на тангенциальные компоненты полей получите систему линейных уравнений на коэффициенты $r$, $a$, $b$ и $t$.

A3. 1 Четыре верных линейно независимых уравнения, полученных из граничных условий:
\[
\begin{cases}
1+r=a+b,\\
k_{1x}(1-r)=k_{2x}(a-b), \\
ae^{i k_{2x}d}+be^{-i k_{2x}d}=t,\\
k_{3x}t=k_{2x}(ae^{i k_{2x}d}-be^{-i k_{2x}d}).
\end{cases}
\]

4 × 0,15

A4 ^0,60 Найдите коэффициент отражения. Приведите ответ к виду:
\[ r_s = \frac{A +B e^{2i k_{2x}d}}{AB + e^{2i k_{2x}d}}.\]
Вещественные числа $A$, $B$ выразите через $k_{1x}$, $k_{2x}$, $k_{3x}$.

A4. 1 Получены верные ответы для коэффициентов:
$$A = \dfrac{k_{2x} + k_{3x}}{k_{2x} - k_{3x}},\\
B = \dfrac{k_{1x} + k_{2x}}{k_{1x} - k_{2x}}.$$

2 × 0,30

A5 ^0,60 Для волны с $p$ поляризацией (магнитное поле направлено вдоль поверхности) из граничных условий на тангенциальные компоненты полей получите систему линейных уравнений на коэффициенты $r$, $a$, $b$ и $t$.

A5. 1 Четыре верных линейно независимых уравнения, полученных из граничных условий:
\[
\begin{cases}
1+r=a+b,\\
\kappa_{1x}(1-r)=\kappa_{2x}(a-b), \\
ae^{i k_{2x}d}+be^{-i k_{2x}d}=t,\\
\kappa_{3x}t=\kappa_{2x}(ae^{i k_{2x}d}-be^{-i k_{2x}d}).
\end{cases}
\]

4 × 0,15

A6 ^0,60 Найдите коэффициент отражения. Приведите ответ к виду:
\[ r_p = \frac{A +B e^{2i k_{2x}d}}{AB + e^{2i k_{2x}d}}.\]
Вещественные числа $A$, $B$ выразите через $\kappa_{1x}$, $\kappa_{2x}$, $\kappa_{3x}$.

A6. 1 Получены верные ответы для коэффициентов:
$$A = \dfrac{\kappa_{2x} + \kappa_{3x}}{\kappa_{2x} - \kappa_{3x}},\\
B = \dfrac{\kappa_{1x} + \kappa_{2x}}{\kappa_{1x} - \kappa_{2x}}.$$

2 × 0,30

A7 ^1,50 С помощью программы A.py постройте графики зависимости $\Psi$ и $\Delta$ от $\lambda$ при разных углах падения $\theta_1$ и толщинах $d$. Проведите количественное исследование и определите, при каком угле падения $\theta_\text{opt}$ эллипсометрический угол $\Psi$ наиболее чувствителен (наибольшее значение $|\Delta \Psi/\Delta d|$) к изменениям $d$ в диапазоне от $10 нм$ до $50нм$. Найдите значение $\theta_\text{opt}$ с точностью до градуса.

Начиная с пункта B3, для повышения точности используйте $\theta_{opt}$ в качестве $\Phi$ .

A7. 0 Предложен корректный метод измерения чувствительности эллипсометрического угла $\Psi$. При этом явно указаны измеряемые величины.	0,30
A7. 2 M1 Приведены результаты количественного исследования (графики или таблица прямых измерений) для разных $\theta$. При этом для каждого $\theta$ должно быть не менее двух измерений с различными $d < 50 \text{ нм}$. Серия измерений для каждого $\theta$ оценивается в $0.1$ балла.	5 × 0,10
A7. 3 M2 Приведены графики (сохранены в папку "report"). Графики для каждого $\theta$ оцениваются в $0.05$ балла.	5 × 0,05
A7. 7 Полученное значение попадает в узкие ворота $\theta_{opt}\in [75^{\circ}, 79^{\circ}]$	0,70
A7. 8 Полученное значение попадает в широкие ворота $\theta_{opt}\in [70^{\circ}, 80^{\circ}]$	0,40
A7. 9 Полученное значение $\theta_{opt} \geqslant 60^\circ$.	0,20
A7. 10 Полученное значение $\theta_{opt} < 60^\circ$.	0,00

B1 ^0,70 С помощью программы B1.py подберите вручную значение $\Phi$ и толщины $d$ пленки $\rm SiO_2$. Программа B1.py автоматически считывает значения из файла B1.txt и выводит аппроксимирующий график $\Psi,\Delta$ от $\lambda$, для введенных вами значений угла $\Phi$ в градусах и толщины $d$ пленки диоксида в нанометрах. Для входных данных заложены ограничения $20\,^\circ \leq \Phi \leq 80\,^\circ$, $d \leq 250~\text{нм}$.

B1. 1 Описан метод нахождения оптимальных $\Phi$ и $d$.	0,30
B1. 2 Полученное $\Phi$ попадает в интервал $[70^\circ, 72^\circ]$.	0,20
B1. 3 Полученное $\Phi$ попадает в интервал $[69^\circ, 73^\circ]$.	0,10
B1. 4 Полученное $\Phi$ не попадает в интервал $[69^\circ, 73^\circ]$.	0,00
B1. 6 Полученное $d$ попадает в интервал $[66, 68] \: {\rm нм}$.	0,20
B1. 7 Полученное $d$ попадает в интервал $[65, 69] \: {\rm нм}$.	0,10
B1. 8 Полученное $d$ не попадает в интервал $[65, 69] \: {\rm нм}$.	0,00

B2 ^0,70 С помощью программы B2.py подберите вручную значение $\Phi$ и толщины $d$ пленки $\rm SiO_2$. Программа работает аналогично предыдущему пункту.

B2. 1 Полученное $\Phi$ попадает в интервал $[56^\circ, 58^\circ]$.	0,35
B2. 2 Полученное $\Phi$ попадает в интервал $[55^\circ, 59^\circ]$.	0,15
B2. 3 Полученное $\Phi$ не попадает в интервал $[55^\circ, 59^\circ]$.	0,00
B2. 4 Полученное $d$ попадает в интервал $[231, 233] \: {\rm нм}$.	0,35
B2. 5 Полученное $d$ попадает в интервал $[230, 234] \: {\rm нм}$.	0,15
B2. 6 Полученное $d$ не попадает в интервал $[230, 234] \: {\rm нм}$.	0,00

B3 ^0,30 Получите данные для зависимости толщины пленки $d$ диоксида кремния от времени $t$ при окислении при температуре $t=1000\,^\circ\text{C}$ в течение $120~\text{мин}$. Приложите полученный с помощью программы B.py график к отчету.

B3. 1 Приложен верный график.

0,30

B4 ^0,30 Выразите скорость $v$ изменения толщины пленки через скорость реакции окисления $F_3$, молярную массу $\mu_{\rm SiO_2}$ и плотность $\rho_{\rm SiO_2}$ диоксида кремния. Считайте, что граница воздух-диоксид неподвижна.

B4. 1 Получено выражение $\Delta m = F_3 \, \Delta t \, S \, \mu_{\rm SiO_2}$ для массы окисленного ${\rm Si}$.	0,10
B4. 2 Получено выражение $\Delta m = \rho_{\rm SiO_2} \, S \, v \, \Delta t$ для массы появившегося ${\rm SiO_2}$.	0,10
B4. 3 Верный ответ $v= F_3\frac{\mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm Si O_2}}$.	0,10

B5 ^0,50 Считая задачу псевдостационарной (времена установления всех процессов гораздо меньше времени нарастания пленки), выразите $C_0$ и $C_i$ через $C^*$, константы скорости $h$, $k$, $D$ и толщину пленки $d$.

B5. 1 Использованы условия стационарности $F_1 = F_2 = F_3$ (по $0.10$ за каждое условие).	2 × 0,10
B5. 2 Верный ответ \[ C_0 = C^* \frac{1 + \frac{kd}{D} }{1 + \frac{k}{h} + \frac{kd}{D}} \]	0,15
B5. 3 Верный ответ \[ C_i = C^* \frac{1}{1 + \frac{k}{h} + \frac{kd}{D}} \]	0,15

B6 ^0,50 Получите дифференциальное уравнение для толщины $d$ пленки диоксида и получите его решение для начальных условий $d(t_0)=d_0$ в виде
\[ d^2 + Ad = B(t + \tau),\]
где $\tau$ содержит в себе информацию о начальных условиях, а константы $A$ и $B$ связаны с кинетикой окисления. Выразите $A$ и $B$ через $h$, $k$, $D$, $C^*$, $\mu_{\rm SiO_2}$ и $\rho_{\rm SiO_2}$.

B6. 1 Использовано выражение $\dot d = \frac{F_3 \mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm SiO_2}} = \frac{k C_i \mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm SiO_2}}$.	0,05
B6. 2 Верно записано дифференциальное уравнение $\frac{\dot d \cdot d }{D} + \dot d \cdot \left ( \frac{1}{k} + \frac{1}{h} \right) - C^* \frac{\mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm Si O_2}} = 0$.	0,15
B6. 3 Верно проинтегрирована левая часть дифференциального уравнения и получено выражение \[\frac{d^2}{2D} + d \cdot \left ( \frac{1}{k} + \frac{1}{h} \right) - t \cdot C^* \frac{\mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm Si O_2}} = \text{const}\]	0,10
B6. 4 Верный ответ $A = 2D \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{h} \right)$	0,10
B6. 5 Верный ответ $B = 2D C^* \frac{\mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm Si O_2}}$	0,10

B7 ^1,00 Получите значения параметров $B$ и $B/A$ для пяти разных температур $T$. Результаты занесите в файл B8_in.txt в виде таблицы.

B7. 1 Приведены результаты четырех дополнительных измерений (в виде таблицы в отчете или в виде файла в папке report).	4 × 0,20
B7. 2 Диапазон температур в измерениях не менее $200^\circ$.	0,20

B8 ^1,50 Определите значения $\Delta E_b$ и $\Delta E_a$ в электрон-вольтах. Приложите линеаризованные графики к отчету.

B8. 1 Построены графики $\ln B \left (\frac{1}{T} \right)$, $\ln \frac{B}{A} \left (\frac{1}{T} \right)$ и найдены их коэффициенты наклона (по $0.25$ баллов для каждой пары график/коэффициент).	2 × 0,25
B8. 2 Получено выражение $B \propto e^{-\frac{\Delta E_a}{k_B T}}$.	0,20
B8. 3 Ответ для $\Delta E_a$ попадает в интервал $[1.30, 1.45] \: эВ$.	0,30
B8. 4 Ответ для $\Delta E_a$ попадает в интервал $[1.25, 1.50] \: эВ$.	0,10
B8. 5 Ответ для $\Delta E_a$ не попадает в интервал $[1.25, 1.50] \: эВ$.	0,00
B8. 6 Получено выражение $\frac{B}{A} \propto e^{-\frac{\Delta E_b}{k_B T}}$.	0,20
B8. 7 Ответ для $\Delta E_b$ попадает в интервал $[1.95, 2.10] \: эВ$.	0,30
B8. 8 Ответ для $\Delta E_b$ попадает в интервал $[1.90, 2.15] \: эВ$.	0,10
B8. 9 Ответ для $\Delta E_b$ не попадает в интервал $[1.90, 2.15] \: эВ$.	0,00

Термическое оксидирование

Разбалловка