Logo
Logo

Термическое оксидирование

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Разбалловка

0.0
Сумма баллов
A1  0.20 Покажите, что тангенциальные компоненты волновых векторов не изменяются на границе диэлектрик-диэлектрик: $k_{1y}=k_{2y}=k_{3y}$.

1 Корректное доказательство с указанием на выполнение граничных условий в любой точке поверхности. 0.20
А2  0.40 Найдите выражения для $k_{1x}$, $k_{2x}$ и $k_{3x}$. Выразите через $\omega$, $c$, $\theta_1$, $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $\varepsilon_3$.

0 Указывается или используется постоянство частоты при переходе через границу сред 0.10
2 Получен ответ $k_{1x} = \dfrac{\sqrt{\varepsilon_1} \omega}{c} \cos\theta_1$. 0.10
3 Получены ответы:
$$k_{2x}=\cfrac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_2-\varepsilon_1\sin^2{\theta_1}},\\
k_{3x}=\cfrac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_3-\varepsilon_1\sin^2{\theta_1}}.$$ 		2 × 0.10
A3  0.60 Для волны с $s$ поляризацией (электрическое поле направлено вдоль поверхности) из граничных условий на тангенциальные компоненты полей получите систему линейных уравнений на коэффициенты $r$, $a$, $b$ и $t$.

1 Четыре верных линейно независимых уравнения, полученных из граничных условий:
\[
\begin{cases}
1+r=a+b,\\
k_{1x}(1-r)=k_{2x}(a-b), \\
ae^{i k_{2x}d}+be^{-i k_{2x}d}=t,\\
k_{3x}t=k_{2x}(ae^{i k_{2x}d}-be^{-i k_{2x}d}).
\end{cases}
\] 		4 × 0.15
A4  0.60 Найдите коэффициент отражения. Приведите ответ к виду:
\[ r_s = \frac{A +B e^{2i k_{2x}d}}{AB + e^{2i k_{2x}d}}.\]Вещественные числа $A$, $B$ выразите через $k_{1x}$, $k_{2x}$, $k_{3x}$.

1 Получены верные ответы для коэффициентов:
$$A = \dfrac{k_{2x} + k_{3x}}{k_{2x} - k_{3x}},\\
B = \dfrac{k_{1x} + k_{2x}}{k_{1x} - k_{2x}}.$$ 		2 × 0.30
A5  0.60 Для волны с $p$ поляризацией (магнитное поле направлено вдоль поверхности) из граничных условий на тангенциальные компоненты полей получите систему линейных уравнений на коэффициенты $r$, $a$, $b$ и $t$.

1 Четыре верных линейно независимых уравнения, полученных из граничных условий:
\[
\begin{cases}
1+r=a+b,\\
\kappa_{1x}(1-r)=\kappa_{2x}(a-b), \\
ae^{i k_{2x}d}+be^{-i k_{2x}d}=t,\\
\kappa_{3x}t=\kappa_{2x}(ae^{i k_{2x}d}-be^{-i k_{2x}d}).
\end{cases}
\] 		4 × 0.15
A6  0.60 Найдите коэффициент отражения. Приведите ответ к виду:
\[ r_p = \frac{A +B e^{2i k_{2x}d}}{AB + e^{2i k_{2x}d}}.\]Вещественные числа $A$, $B$ выразите через $\kappa_{1x}$, $\kappa_{2x}$, $\kappa_{3x}$.

1 Получены верные ответы для коэффициентов:
$$A = \dfrac{\kappa_{2x} + \kappa_{3x}}{\kappa_{2x} - \kappa_{3x}},\\
B = \dfrac{\kappa_{1x} + \kappa_{2x}}{\kappa_{1x} - \kappa_{2x}}.$$ 		2 × 0.30
A7  1.50 С помощью программы A.py постройте графики зависимости $\Psi$ и $\Delta$ от $\lambda$ при разных углах падения $\theta_1$ и толщинах $d$. Проведите количественное исследование и определите, при каком угле падения $\theta_\text{opt}$ эллипсометрический угол $\Psi$ наиболее чувствителен (наибольшее значение $|\Delta \Psi/\Delta d|$) к изменениям $d$ в диапазоне от $10 нм$ до $50нм$. Найдите значение $\theta_\text{opt}$ с точностью до градуса.

Начиная с пункта B3, для повышения точности используйте $\theta_{opt}$ в качестве $\Phi$ .

0 Предложен корректный метод измерения чувствительности эллипсометрического угла $\Psi$. При этом явно указаны измеряемые величины. 0.30
2 M1 Приведены результаты количественного исследования (графики или таблица прямых измерений) для разных $\theta$. При этом для каждого $\theta$ должно быть не менее двух измерений с различными $d < 50 \text{ нм}$. Серия измерений для каждого $\theta$ оценивается в $0.1$ балла. 5 × 0.10
3 M2 Приведены графики (сохранены в папку "report"). Графики для каждого $\theta$ оцениваются в $0.05$ балла. 5 × 0.05
7 Полученное значение попадает в узкие ворота $\theta_{opt}\in [75^{\circ}, 79^{\circ}]$ 0.70
8 Полученное значение попадает в широкие ворота $\theta_{opt}\in [70^{\circ}, 80^{\circ}]$ 0.40
9 Полученное значение $\theta_{opt} \geqslant 60^\circ$. 0.20
10 Полученное значение $\theta_{opt} < 60^\circ$. 0.00
B1  0.70 С помощью программы B1.py подберите вручную значение $\Phi$ и толщины $d$ пленки $\rm SiO_2$. Программа B1.py автоматически считывает значения из файла B1.txt и выводит аппроксимирующий график $\Psi,\Delta$ от $\lambda$, для введенных вами значений угла $\Phi$ в градусах и толщины $d$ пленки диоксида в нанометрах. Для входных данных заложены ограничения $20\,^\circ \leq \Phi \leq 80\,^\circ$, $d \leq 250~\text{нм}$.

1 Описан метод нахождения оптимальных $\Phi$ и $d$. 0.30
2 Полученное $\Phi$ попадает в интервал $[70^\circ, 72^\circ]$. 0.20
3 Полученное $\Phi$ попадает в интервал $[69^\circ, 73^\circ]$. 0.10
4 Полученное $\Phi$ не попадает в интервал $[69^\circ, 73^\circ]$. 0.00
6 Полученное $d$ попадает в интервал $[66, 68] \: {\rm нм}$. 0.20
7 Полученное $d$ попадает в интервал $[65, 69] \: {\rm нм}$. 0.10
8 Полученное $d$ не попадает в интервал $[65, 69] \: {\rm нм}$. 0.00
B2  0.70 С помощью программы B2.py подберите вручную значение $\Phi$ и толщины $d$ пленки $\rm SiO_2$. Программа работает аналогично предыдущему пункту.

1 Полученное $\Phi$ попадает в интервал $[56^\circ, 58^\circ]$. 0.35
2 Полученное $\Phi$ попадает в интервал $[55^\circ, 59^\circ]$. 0.15
3 Полученное $\Phi$ не попадает в интервал $[55^\circ, 59^\circ]$. 0.00
4 Полученное $d$ попадает в интервал $[231, 233] \: {\rm нм}$. 0.35
5 Полученное $d$ попадает в интервал $[230, 234] \: {\rm нм}$. 0.15
6 Полученное $d$ не попадает в интервал $[230, 234] \: {\rm нм}$. 0.00
B3  0.30 Получите данные для зависимости толщины пленки $d$ диоксида кремния от времени $t$ при окислении при температуре $t=1000\,^\circ\text{C}$ в течение $120~\text{мин}$. Приложите полученный с помощью программы B.py график к отчету.

1 Приложен верный график. 0.30
B4  0.30 Выразите скорость $v$ изменения толщины пленки через скорость реакции окисления $F_3$, молярную массу $\mu_{\rm SiO_2}$ и плотность $\rho_{\rm SiO_2}$ диоксида кремния. Считайте, что граница воздух-диоксид неподвижна.

1 Получено выражение $\Delta m = F_3 \, \Delta t \, S \, \mu_{\rm SiO_2}$ для массы окисленного ${\rm Si}$. 0.10
2 Получено выражение $\Delta m = \rho_{\rm SiO_2} \, S \, v \, \Delta t$ для массы появившегося ${\rm SiO_2}$. 0.10
3 Верный ответ $v= F_3\frac{\mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm Si O_2}}$. 0.10
B5  0.50 Считая задачу псевдостационарной (времена установления всех процессов гораздо меньше времени нарастания пленки), выразите $C_0$ и $C_i$ через $C^*$, константы скорости $h$, $k$, $D$ и толщину пленки $d$.

1 Использованы условия стационарности $F_1 = F_2 = F_3$ (по $0.10$ за каждое условие). 2 × 0.10
2 Верный ответ \[ C_0 = C^* \frac{1 + \frac{kd}{D} }{1 + \frac{k}{h} + \frac{kd}{D}} \] 0.15
3 Верный ответ \[ C_i = C^* \frac{1}{1 + \frac{k}{h} + \frac{kd}{D}} \] 0.15
B6  0.50 Получите дифференциальное уравнение для толщины $d$ пленки диоксида и получите его решение для начальных условий $d(t_0)=d_0$ в виде
\[ d^2 + Ad = B(t + \tau),\]где $\tau$ содержит в себе информацию о начальных условиях, а константы $A$ и $B$ связаны с кинетикой окисления. Выразите $A$ и $B$ через $h$, $k$, $D$, $C^*$, $\mu_{\rm SiO_2}$ и $\rho_{\rm SiO_2}$.

1 Использовано выражение $\dot d = \frac{F_3 \mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm SiO_2}} = \frac{k C_i \mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm SiO_2}}$. 0.05
2 Верно записано дифференциальное уравнение $\frac{\dot d \cdot d }{D} + \dot d \cdot \left ( \frac{1}{k} + \frac{1}{h} \right) - C^* \frac{\mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm Si O_2}} = 0$. 0.15
3 Верно проинтегрирована левая часть дифференциального уравнения и получено выражение \[\frac{d^2}{2D} + d \cdot \left ( \frac{1}{k} + \frac{1}{h} \right) - t \cdot C^* \frac{\mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm Si O_2}} = \text{const}\] 0.10
4 Верный ответ $A = 2D \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{h} \right)$ 0.10
5 Верный ответ $B = 2D C^* \frac{\mu_{\rm SiO_2}}{\rho_{\rm Si O_2}}$ 0.10
B7  1.00 Получите значения параметров $B$ и $B/A$ для пяти разных температур $T$. Результаты занесите в файл B8_in.txt в виде таблицы.

1 Приведены результаты четырех дополнительных измерений (в виде таблицы в отчете или в виде файла в папке report). 4 × 0.20
2 Диапазон температур в измерениях не менее $200^\circ$. 0.20
B8  1.50 Определите значения $\Delta E_b$ и $\Delta E_a$ в электрон-вольтах. Приложите линеаризованные графики к отчету.

1 Построены графики $\ln B \left (\frac{1}{T} \right)$, $\ln \frac{B}{A} \left (\frac{1}{T} \right)$ и найдены их коэффициенты наклона (по $0.25$ баллов для каждой пары график/коэффициент). 2 × 0.25
2 Получено выражение $B \propto e^{-\frac{\Delta E_a}{k_B T}}$. 0.20
3 Ответ для $\Delta E_a$ попадает в интервал $[1.30, 1.45] \: эВ$. 0.30
4 Ответ для $\Delta E_a$ попадает в интервал $[1.25, 1.50] \: эВ$. 0.10
5 Ответ для $\Delta E_a$ не попадает в интервал $[1.25, 1.50] \: эВ$. 0.00
6 Получено выражение $\frac{B}{A} \propto e^{-\frac{\Delta E_b}{k_B T}}$. 0.20
7 Ответ для $\Delta E_b$ попадает в интервал $[1.95, 2.10] \: эВ$. 0.30
8 Ответ для $\Delta E_b$ попадает в интервал $[1.90, 2.15] \: эВ$. 0.10
9 Ответ для $\Delta E_b$ не попадает в интервал $[1.90, 2.15] \: эВ$. 0.00