Logo
Logo

Ньютоновская вселенная

Условие

После открытия Исааком Ньютоном закона всемирного тяготения Пьер-Симон Лаплас предпринял попытку описать поведение Вселенной, считая ее облаком движущейся материи. Лаплас использовал для описания движения этого облака предположение о том, что при больших расстояниях между телами из всех взаимодействий между ними существенную роль играет только гравитация. Однако для построения реалистичной модели ему не хватало экспериментальных данных.

Только в XX веке астрономические наблюдения позволили установить, что вещество в наблюдаемой части Вселенной распределено практически однородно и изотропно (то есть средняя плотность вещества в областях, вмещающих в себя много галактик, практически одинакова). Кроме того, Эдвин Хаббл открыл закон, согласно которому далекие объекты удаляются от нас (вдоль луча зрения) со скоростями $V_r$, пропорциональными расстоянию $r$ до них: $V_r=H\cdot r$ (величина $H$, не зависящая от радиуса, получила название постоянной Хаббла; в настоящее время она примерно равна $H_t\approx 7\cdot 10^{-11}~\text{лет}^{-1}$). Георгий Гамов предположил, что такое распределение скоростей возникло благодаря Большому Взрыву (Big Bang): этот взрыв произошел в малой по размерам области, и после него вещество полетело в разные стороны с различными скоростями. Поэтому частицы, полетевшие быстрее, к нынешнему времени улетели дальше от области взрыва.

A1 Означает ли закон Хаббла, что Солнечная система находится в той области Вселенной, в которой произошел Большой Взрыв? (Ведь Хаббл вел свои наблюдения с Земли!) Подчеркните правильный ответ и поясните его чертежом и формулой.

В теоретической физике для описания расширения Вселенной после Большого Взрыва используют уравнения общей теории относительности Эйнштейна. Любопытно, однако, к каким выводам должен был прийти Лаплас, если бы в своей модели, базирующейся на уравнениях механики Ньютона, он использовал бы информацию об однородности Вселенной и закон Хаббла? Для ответа на этот вопрос рассмотрим расширение так называемой "Ньютоновской Вселенной" (НВ). НВ – это однородный шар с полной массой $M=10^{55}~\text{к}г$, взаимодействие частиц вещества в котором описывается законом всемирного тяготения Ньютона с гравитационной постоянной $G=6.7\cdot 10^{-11}~\text{м}^3/(\text{кг}\cdot \text{с}^2)$, а распределение скоростей вещества описывается законом Хаббла, в котором "постоянная" $H=H(t)$ есть функция времени.

A2 Вычислите собственную гравитационную потенциальную энергию $E_g$ НВ в тот момент времени $t$, когда ее радиус равен $R$ (ответ дайте в виде формулы, выразив $E_g$ через $M$ и $R$).

Примечание: если массу системы увеличить от $m$ до $m + \Delta m$ без каких либо изменений в относительном распределении массы, то гравитационная энергия увеличится на

\[ \Delta E_G = \int\limits_0^{\Delta m} \varphi \, dm,\]

где $\varphi$ - гравитационный потенциал в точке с массой $dm$. Также $\varphi$ выбран так, что $\varphi=0$ на бесконечности.

A3 Вычислите кинетическую энергию $E_K$ НВ в этот же момент времени (ответ дайте в виде формулы, выразив $E_K$ через $M, H$ и $R$).

Ясно, что в процессе дальнейшего расширения (с течением времени $t$) материя в НВ будет тормозиться силами тяготения. Допустим, что некие "жители" НВ в момент времени $t$, которое отсчитывается от Большого Взрыва, измерили среднюю плотность вещества в ней $\rho(t)$ и величину постоянной Хаббла $H(t)$.

A4 При каком соотношении между $\rho(t)$ и $H(t)$ расширение НВ за конечное время прекратится и сменится сжатием? (Ответ дайте в виде неравенства.)

A5 Пусть полная энергия вещества НВ (сумма кинетической энергии и потенциальной энергии гравитационного взаимодействия) равна $E=-\cfrac{2}{15}Mc^2$ (где $c$ – скорость света в вакууме). Найдите максимальный радиус, который может приобрести НВ в процессе расширения. Запишите формулу и получите численный ответ в парсеках ($1~\text{парсек}\approx 3.2~\text{световых года}\approx 3\cdot 10^{16}~\text{м}$).

A6 Для того же случая (который описан в пункте А5) найдите полное время жизни НВ от Большого Взрыва до Большого Схлопывания. Запишите формулу и получите численный ответ в годах.

Примечание: $$ \int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} d x=(y=\sqrt{1-x})=2 \int\limits_{0}^{1} \sqrt{1-y^{2}} d y $$

A7 Каковы могут быть варианты дальнейшего движения вещества в шаре при разных соотношениях между плотностью и постоянной Хаббла? Опишите качественно поведение радиуса НВ для каждого из возможных случаев. Для этого изобразите на рисунках 1a–1b, 2a–2b и 3a–3b три разные пары графиков – зависимости радиуса R НВ и скорости ее расширения $V_R=dR/dt$ от времени (напомним, что «в момент Большого Взрыва» – при $t=0$ – радиус НВ считается «практически нулевым»). Графики изобразите качественно, показав на них все важные детали и особенности.