Гидравлический прыжок — явление, при котором быстрый поток жидкости резко замедляется, а уровень жидкости в потоке возрастает. Такое явление может возникать естественным образом в течении реки или канала. Также его используют при конструировании плотин для замедления скорости течения воды. Можно наблюдать гидравлический прыжок и в домашних условиях. Когда струя воды ударяется о поверхность раковины, вокруг нее образуется круг с тонким слоем быстро текущей воды. На некотором расстоянии от струи уровень воды повышается — это и есть гидравлический прыжок. В задаче вам предлагается описать это явление, используя законы сохранения.

Во всей задаче рассматривается течение воды, которую можно считать несжимаемой жидкостью с плотностью $\rho = 1.0\cdot10^3~\text{кг}/\text{м}^3$. Ускорение свободного падения $g = 9.8 ~\text{м}/{с}^2$.

Если пренебречь потерями энергии, для стационарного (не зависящего от времени) течения жидкости вдоль любой трубки тока выполняется уравнение Бернулли
$$
E = \frac{P}{\rho} + \frac{v^2}{2} + g z = const
$$
Здесь $P$ — давление, $v$ — скорость течения, $z$ — высота рассматриваемого объема жидкости. Величину $E$ будем называть удельной энергией данного элемента жидкости.
В качестве безразмерного параметра, характеризующего течение жидкости с учетом силы тяжести, используется число Фруда
$$
Fr = \frac{v}{\sqrt{gd}},
$$
где $v$ — характерная скорость течения, $d$ — глубина потока.

Во всех частях задачи атмосферное давление не влияет на течение жидкости. Его вклад в уравнение Бернулли и в выражения для сил можно не учитывать.

Часть A. Течение без потерь энергии (3.5 балла)

В этой части будем рассматривать течение жидкости по прямоугольному каналу шириной $b$. Движение жидкости можно считать установившимся (то есть скорость движения в данной точке канала не зависит от времени). Поток воды через канал (объем воды, протекающей через сечение канала за единицу времени) равен $Q$. Считайте, что дно канала плоское, а скорость течения одинакова во всех точках любого поперечного сечения канала. Атмосферное давление учитывать не нужно.

A1 Пусть глубина воды в канале равна $d$. Найдите удельную энергию течения $E$. Высоту $z$ отсчитывайте от дна канала. Выразите ответ через $Q$, $b$, $d$, $g$.

A S

A2 Определите критическую глубину воды $d_c$, при которой удельная энергия $E$ минимальна. Выразите ее через $Q$, $b$, $g$.

A S

A3 Определите скорость течения жидкости $v_c$ и число Фруда $Fr_c$, отвечающие критическому значению глубины. Выразите ответ через $Q$, $b$, $g$.

A S

A4

Предположим теперь, что в некоторой точке дно канала поднимается на высоту $H$, а ширина не изменяется. Пусть $d_1$ и $v_1$ — глубина воды и скорость течения до изменения глубины, $d_2$, $v_2$ — после изменения. Запишите два уравнения, следующие из законов сохранения массы и энергии воды, связывающие между собой эти величины. В эти уравнения также могут входить $g$ и $H$. Считайте, что во всех точках течение ламинарное и уравнение Бернулли выполняется.

A S

A5 Записанные в предыдущем пункте уравнения невозможно решить точно. Поэтому будем считать высоту $H$ малой. Пусть $\Delta v = v_2 - v_1 \ll v_1$ и $\Delta d = d_2 - d_1 \ll d_1$ — малые изменения скорости и глубины течения. Во всех вычислениях ограничимся вкладами первого порядка по $H$, $\Delta v$, $\Delta d$. Определите значения $\Delta v/v_1$, $\Delta d/d_1$.

A S

A6 Укажите, при каких значениях числа Фруда потока до изменения глубины канала скорость возрастает, а при каких уменьшается.

A S

Часть B. Теория гидравлического прыжка (5 баллов)

В этой части мы перейдем непосредственно к описанию гидравлического прыжка. Для этого снова будем рассматривать течение жидкости по прямоугольному каналу постоянной шириной $b$. Область течения можно разделить на три части: 

1. начальная область быстрого течения небольшой глубины, скорость и глубина $v_1$, $d_1$;
2. переходная область, течение в которой сильно турбулентно, а глубина изменяется и происходят потери энергии, поэтому уравнение Бернулли использовать нельзя;
3.  область медленного течения постоянной скорости $v_2$, глубиной $d_2$.

B1 Найдите силу $F$ гидростатического давления, действующую на выделенный объем. Можно показать, что вклад атмосферного давления равен нулю и его можно не учитывать (вам не требуется это доказывать). Считайте, что зависимость давления от высоты такая же, как и в неподвижной жидкости. Выразите ответ через $\rho$, $g$, $b$, $d_1$, $d_2$.

A S

B2 Запишите два уравнения, следующие из закона сохранения массы и закона изменения импульса, связывающие между собой $v_1$, $v_2$, $d_1$, $d_2$. В ответ также могут входить $g$, $b$, $\rho$.

A S

B3 С помощью полученных уравнений найдите отношение глубины воды после прыжка к глубине до прыжка $d_2/d_1$. Выразите ответ через число Фруда течения до скачка $Fr$.

A S

B4 Найдите разность удельных энергий жидкости до и после прыжка $\Delta E = E_2 - E_1$. Выразите ответ через $g$, $d_1$, $d_2$.

A S

B5 При каких значения числа Фруда гидравлический прыжок возможен?

A S

Часть C. Гидравлический прыжок в раковине (1.5 балла)

В этой части мы применим полученные ранее результаты для того, чтобы оценить параметры гидравлического прыжка, который можно наблюдать в раковине. От полной теории требовалось бы определить радиус окружности, на которой происходит прыжок. Однако оказывается, что в такой теории необходимо учитывать вязкость жидкости и поверхностное натяжение. Поэтому будем считать этот радиус заданным.

Пусть о горизонтальную плоскость ударяется струя с потоком воды $Q = 3.0 \times 10^{-5}~\text{м}^3/\text{c}$, диаметр струи непосредственно перед контактом с поверхностью $D = 1.0~\text{см}$, струя перпендикулярна поверхности. Течение симметрично относительно оси симметрии струи. Считайте, что при течении жидкости до момента гидравлического прыжка выполняется закон сохранения энергии, а скорость течения не зависит от расстояния до струи.

С1 Найдите скорость $v$ течения жидкости до гидравлического прыжка. Приведите формулу и численное значение. Выразите ответ через $Q$, $D$.

A S

С2 Как глубина $d$ воды зависит от расстояния $r$ до центра струи? Выразите ответ через $D$, $r$, найдите численное значение при $r=r_c = 3~\text{см}$ (радиус, на котором происходит прыжок).

A S

С3 Найдите число Фруда (численное значение) в точке, где происходит гидравлический прыжок. Определите, во сколько раз увеличивается глубина воды при прыжке $d_2/d_1$.

A S