Pho.rs: Гидравлический прыжок

A1 ^0.50 Пусть глубина воды в канале равна $d$. Найдите удельную энергию течения $E$. Высоту $z$ отсчитывайте от дна канала. Выразите ответ через $Q$, $b$, $d$, $g$.

1 Связь скорости и глубины $v = Q/bd$	0.20
2 Вычисление при $z = d$ или корректный учет давления на нужной глубине ($P = \rho g (d-z)$ или аналог)	0.10
3 Ответ $$ E = \frac{Q^2}{2 b^2 d^2} + gd $$	0.20

A2 ^0.60 Определите критическую глубину воды $d_c$, при которой удельная энергия $E$ минимальна. Выразите ее через $Q$, $b$, $g$.

1 Выражение для $E$ корректно продифференцировано	0.30
2 Ответ $$ d_c = \left( \frac{Q^2}{g b^2}\right)^{1/3} $$	0.30

A3 ^0.40 Определите скорость течения жидкости $v_c$ и число Фруда $Fr_c$, отвечающие критическому значению глубины. Выразите ответ через $Q$, $b$, $g$.

1 Ответ $$v_c = \left( \frac{g Q}{b}\right)^{1/3}$$	0.20
2 Ответ $Fr_c = 1$	0.20

A4 ^0.70

Предположим теперь, что в некоторой точке дно канала поднимается на высоту $H$, а ширина не изменяется. Пусть $d_1$ и $v_1$ – глубина воды и скорость течения до изменения глубины, $d_2$, $v_2$ – после изменения. Запишите два уравнения, следующие из законов сохранения массы и энергии воды, связывающие между собой эти величины. В эти уравнения также могут входить $g$ и $H$. Считайте, что во всех точках течение ламинарное и уравнение Бернулли выполняется.

1 Корректно записан закон сохранения потока $d_1 v_1 = d_2 v_2$ (возможно с коэффициентами типа $b$ или $\rho b$)	0.30
2 Записано уравнение Бернулли в любом виде	0.20
3 Корректно учтена высота дна канала и получен ответ $$ \frac{v_1^2}{2} + g d_1 = \frac{v_2^2}{2} + g (d_2 + H). $$или эквивалентный ему	0.20

A5 ^1.00 Записанные в предыдущем пункте уравнения невозможно решить точно. Поэтому будем считать высоту $H$ малой. Пусть $\Delta v = v_2 - v_1 \ll v_1$ и $\Delta d = d_2 - d_1 \ll d_1$ – малые изменения скорости и глубины течения. Во всех вычислениях ограничимся вкладами первого порядка по $H$, $\Delta v$, $\Delta d$. Определите значения $\Delta v/v_1$, $\Delta d/d_1$.

1 Получено уравнение, содержащее одну неизвестную (например только $d_2$ или только $v_2$)	0.20
2 Уравнение корректно преобразовано с учетом малости $\Delta v$ или $\Delta d$	0.30
3 $$ \frac{\Delta v}{v_1} = \frac{gH}{g d_1 - v_1^2} $$	0.25
4 $$ \frac{\Delta d}{d_1} = -\frac{gH}{gd_1- v_1^2} $$	0.25

A6 ^0.30 Укажите, при каких значениях числа Фруда потока до изменения глубины канала скорость возрастает, а при каких уменьшается.

1 Скорость возрастает при $Fr< 1$, уменьшается при $Fr >1$.

0.30

B1 ^0.50 Найдите силу $F$ гидростатического давления, действующую на выделенный объем. Можно показать, что вклад атмосферного давления равен нулю и его можно не учитывать (вам не требуется это доказывать). Считайте, что зависимость давления от высоты такая же, как и в неподвижной жидкости. Выразите ответ через $\rho$, $g$, $b$, $d_1$, $d_2$.

1 Использована зависимость давления от глубины $P = \rho g (d - z)$	0.20
2 Получена сила, действующая на одну сторону	0.10
3 Ответ $$ F = \frac{1}{2} \rho g b (d_1^2 - d_2^2). $$	0.20

B2 ^1.00 Запишите два уравнения, следующие из закона сохранения массы и закона изменения импульса, связывающие между собой $v_1$, $v_2$, $d_1$, $d_2$. В ответ также могут входить $g$, $b$, $\rho$.

1 Корректно записан закон сохранения потока $v_1 d_1 = v_2 d_2$	0.20
2 Найдено изменение импульса протекающей жидкости	0.30
3 $dp = F dt$	0.20
4 Второе уравнение $$ v_1^2 d_1 + \frac{g}{2} d_1^2 = v_2^2 d_2 + \frac{g}{2} d_2^2 $$	0.30

B3 ^1.50 С помощью полученных уравнений найдите отношение глубины воды после прыжка к глубине до прыжка $d_2/d_1$. Выразите ответ через число Фруда течения до скачка $Fr$.

1 Получено уравнение только на одну переменную	0.40
2 Уравнение сведено к квадратному	0.30
3 Найдено значение $d_2$ или $v_2$ в любом виде	0.30
4 Найдено отношение в любом виде $d_2/d_1$	0.20
5 Ответ, выраженный через число Фруда $$ \frac{d_2}{d_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1+ 8 Fr^2} -1\right) $$	0.30

B4 ^1.50 Найдите разность удельных энергий жидкости до и после прыжка $\Delta E = E_2 - E_1$. Выразите ответ через $g$, $d_1$, $d_2$.

1 Использовано $$ \Delta E = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2} + g (d_2 - d_1), $$	0.30
2 Формула, позволяющая выразить скорость через начальную и конечную высоты	0.40
3 Ответ $$ \Delta E = \frac{g (d_1 - d_2 )^3}{4 d_1 d_2} $$	0.80
4 Ответ содержит арифметические ошибки, не влияющие на физический смысл	-0.50

B5 ^0.50 При каких значения числа Фруда гидравлический прыжок возможен?

1 Указано, что $\Delta E < 0$	0.20
2 Ответ $Fr > 1$	0.30

С1 ^0.50 Найдите скорость $v$ течения жидкости до гидравлического прыжка. Приведите формулу и численное значение. Выразите ответ через $Q$, $D$.

1 Любая формула, связывающая поток, скорость и площадь сечения струи	0.20
2 Ответ (формула) $$ v = \frac{4 Q}{\pi D^2} $$	0.20
3 Ответ (число) $$ v = 0.38~\text{м}/\text{с} $$	0.10

С2 ^0.50 Как глубина $d$ воды зависит от расстояния $r$ до центра струи? Выразите ответ через $D$, $r$, найдите численное значение при $r=r_c = 3~\text{см}$ (радиус, на котором происходит прыжок).

1 Связь глубины воды и потока	0.20
2 Ответ (формула) $$ d = \frac{D^2}{8r} $$	0.20
3 Ответ (число) $$ d= 0.42~\text{мм} $$	0.10

С3 ^0.50 Найдите число Фруда (численное значение) в точке, где происходит гидравлический прыжок. Определите, во сколько раз увеличивается глубина воды при прыжке $d_2/d_1$.

1 $Fr = 6.0$	0.30
2 $ \dfrac{d_2}{d_1} = 8.0 $	0.20

Гидравлический прыжок

Разбалловка