Запишем выражение для удельной энергии в верхней точке канала. В ней давление жидкости равно нулю, а атмосферное давление мы не учитываем (оно бы дало постоянную добавку, не влияющую на дальнейшие вычисления). Тогда получим
$$
E = \frac{v^2}{2} + g d.
$$Если бы мы использовали для вычисления точку на произвольной высоте $z$, давление бы было равно $P = \rho g (d- z)$, поэтому получается то же самое значение:
$$
E = g (d-z)+ \frac{v^2}{2} + g z = \frac{v^2}{2} + gd.
$$Скорость течения можно выразить через поток $Q$ и площадь поперечного сечения потока $S = bd$,
$$
v = \frac{Q}{bd}.
$$Окончательно получим

Чтобы найти минимум, продифференцируем выражение для $E$ по $d$:
$$
\frac{\partial E}{\partial d} = - \frac{Q^2}{b^2 d^3} +g = 0,
$$откуда

Подставим найденное значение глубины в формулу для $v$:
$$
v_c = \frac{Q}{b d_c} = \frac{Q}{b (Q^2/g b^2)^{1/3}} = \left( \frac{g Q}{b}\right)^{1/3}.
$$Для числа Фруда получим
$$
Fr_c = \frac{v_c}{\sqrt{g d_c}} = \frac{(gQ/b)^{1/3}}{\sqrt{g (Q^2/g b^2)^{1/3}}} = 1.
$$

Предположим теперь, что в некоторой точке дно канала поднимается на высоту $H$, а ширина не изменяется. Пусть $d_1$ и $v_1$ – глубина воды и скорость течения до изменения глубины, $d_2$, $v_2$ – после изменения. Запишите два уравнения, следующие из законов сохранения массы и энергии воды, связывающие между собой эти величины. В эти уравнения также могут входить $g$ и $H$. Считайте, что во всех точках течение ламинарное и уравнение Бернулли выполняется.

Поток воды через любое сечение канала одинаков, поэтому $$ Q = b d_1 v_1 = b d_2 v_2, \quad v_1 d_1 = v_2 d_2. $$ Из уравнения Бернулли для жидкости, которая течет по поверхности $$ \frac{v_1^2}{2} + g d_1 = \frac{v_2^2}{2} + g (d_2 + H). $$ Здесь учтено, что высота поверхности жидкости во втором участке канала $d_2 + H$. Как было показано в пункте A1, те же значения получились бы на любой глубине.

Поскольку изменения глубины и скорости малы, можно переписать условие сохранения потока в виде
$$
d_2 = d_1 \frac{v_1}{v_2} = d_1 \frac{1}{1 + \Delta v/v_1} \approx d_1 \left( 1 - \frac{\Delta v}{v_1}\right).
$$Подставим этот результат в уравнение Бернулли:
$$
\frac{v_1^2}{2} + g d_1 = \frac{1}{2} (v_1+ \Delta v)^2 +gd_1 \left( 1- \frac{\Delta v}{v_1}\right) + gH.
$$Раскладывая до первого порядка по $\Delta v$ и сокращая одинаковые слагаемые, получим
$$
v_1 \Delta v - \frac{g d_1}{v_1} \Delta v + g H = 0,
$$откуда
$$
\Delta v = \frac{g H v_1}{g d_1 - v_1^2}.
$$Тогда изменение глубины потока
$$
\Delta d = - d_1\frac{\Delta v}{v_1} = - \frac{g Hd_1}{g d_1 - v_1^2}.
$$

Из ответа в предыдущем пункте следует, что при $v_1^2 < g d_1$, то есть при $Fr_1 <1$ скорость потока увеличивается, а при $Fr_1 > 1$ – уменьшается. В случае критического течения $Fr_1 = 1$ в первом порядке изменение скорости обращается в бесконечность.

Давление на высоте $z$ от дна равно $P = \rho g (d_1 - z)$ (в левой части системы до прыжка). Силу, которая действует на выделенный участок слева, можно найти с помощью интеграла
$$
F_1 = \int_0^{d_1} P b \mathrm{d}z = \int_0^{d_1}\rho g(d_1 - z)b \mathrm{d} z = \frac{1}{2} \rho gb d_1^2.
$$Аналогично с правой стороны действует сила
$$
F_2 = \frac{1}{2} \rho gb d_2^2.
$$Полная сила равна разности этих двух сил, поскольку они действуют в противоположные стороны. Считаем силу положительной, если она действует направо

Условие сохранения потока выглядит точно так же, как и в предыдущей части:
$$
v_1 d_1 = v_2 d_2.
$$За время $\mathrm{d}t$ через любое поперечное сечение потока проходит масса жидкости $\mathrm{d}m = \rho Q \mathrm{d}t = \rho b d_1 v_1 \mathrm{d}t = \rho b d_2 v_2 \mathrm{d}t$.
Тогда импульс приходящей в область жидкости
$$
\mathrm{d}p_1 = \mathrm{d}m v_1 = \rho b d_1 v_1^2 \mathrm{d}t,
$$а импульс уходящей жидкости
$$
\mathrm{d}p_2 = \mathrm{d}m v_2 = \rho b d_2 v_2^2 \mathrm{d}t.
$$Изменение импульса происходит за счет действующей на систему силы
$$
\mathrm{d}p_2 - \mathrm{d}p_1= F\mathrm{d}t,
$$поэтому
$$
\rho b (d_2 v_2^2 - d_1 v_1^2)\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \rho g b (d_1^2 - d_2^2)\mathrm{d}t.
$$Сократив общие множители и перегруппировав слагаемые, получим
$$
v_1^2 d_1 + \frac{g}{2} d_1^2 = v_2^2 d_2 + \frac{g}{2} d_2^2.
$$

Из условия сохранения потока исключим скорость жидкости после прыжка
$$
v_2 = v_1 \frac{d_1}{d_2},
$$тогда второе уравнение примет вид
$$
\frac{g}{2} d_2^2 + v_1^2 \frac{d_1^2}{d_2} = \frac{g}{2}d_1^2 + v_1^2 d_1,
$$После домножения на $d_2$ это уравнение сводится к кубическому относительно $d_2$. Однако известно одно из решений этого уравнения $d_2 = d_1$, отвечающее тому, что прыжка нет и течение жидкости не поменялось. Это позволяет выделить в уравнении общий множитель $d_2 - d_1$ и свести задачу к квадратному уравнению:
\begin{align*}\frac{g}{2}d_2 (d_2^2 - d_1^2) + v_1^2 (d_1^2 - d_1 d_2) = 0,\\
\frac{g}{2}d_2(d_2 + d_1) (d_2 - d_1) - v_1 ^2 d_1 (d_2 - d_1) = 0,\\
(d_2 - d_1) \left( \frac{g}{2}(d_2^2 + d_1 d_2) - v_1^2 d_1\right) = 0.
\end{align*}
Нас не интересует решение $d_1 = d_2$, поэтому множитель $d_2 - d_1$ можно сократить, в результате получим квадратное уравнение
$$
d_2^2 + d_1 d_2 - \frac{2 d_1}{g}v_1^2 = 0,
$$его решения
$$
d_2 = - \frac{d_1}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + \frac{8 d_1 v_1^2}{g}}.
$$Поскольку $d_2>0$, годится только решение со знаком $+$. Окончательно находим
$$
\frac{d_2}{d_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + \frac{8 v_1^2}{g d_1}} - 1\right) =
\frac{1}{2} \left( \sqrt{1+ 8 Fr^2} -1\right).
$$

Разность энергий, выраженных через скорости и глубины, имеет вид
$$
\Delta E = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2} + g (d_2 - d_1),
$$Из квадратного уравнения на $d_2$ находим
$$
v_1^2 = \frac{g}{2 d_1} (d_2^2 + d_1 d_2) = \frac{g d_2}{2 d_1}(d_1 + d_2).
$$Тогда скорость после прыжка
$$
v_2^2 = v_1^2 \frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{gd_1}{2 d_2}(d_1 + d_2).
$$Подставив эти результаты в изменение энергии, получим
\begin{align*}\Delta E = \frac{g}{4}\left( \frac{d_1}{d_2} - \frac{d_2}{d_1}\right)(d_1 + d_2) &+ g (d_2 - d_1) = \\
= \frac{g (d_1 - d_2)(d_1 + d_2)^2}{4 d_1 d_2} + g(d_2 - d_1) &= g (d_2 - d_1)\left( 1 - \frac{(d_1 + d_2)^2}{4 d_1 d_2}\right)
\end{align*}
Упрощая, найдем

В процессе движения часть энергии может перейти в тепло за счет эффектов турбулентности и вязкости. При этом без внешнего воздействия энергия не может возрасти. Поэтому должно выполняться условие $\Delta E < 0$, а значит $d_1 < d_2$, то есть глубина течения должна возрасти, поэтому действительно происходит прыжок. Отсюда получаем неравенство
$$
\frac{1}{2}\left( \sqrt{1+ 8 Fr^2} -1 \right) > 1,
$$а значит
$$
\sqrt{1+ 8 Fr^2} > 3,
$$то есть $Fr > 1$.

Поток в падающей струе связан со скоростью соотношением
$$
Q = \frac{\pi D^2}{4} v,
$$откуда скорость воды в струе
$$
v = \frac{4 Q}{\pi D^2}.
$$По условию, эта же скорость равна скорости течения до прыжка.

Выделим цилиндр радиусом $r$ с центром на оси симметрии системы. Поток через боковую стенку этого цилиндра равен
$$
Q = 2\pi r d v,
$$откуда толщина слоя воды
$$
d = \frac{Q}{2\pi r v} = \frac{D^2}{8r}.
$$

Используя формулы для скорости и глубины, найдем
$$
Fr = \frac{v}{\sqrt{g d}} = \frac{8 \sqrt{2}}{\pi} \frac{Q}{D^3}\sqrt{\frac{r_c}{g}} = 6.0
,$$тогда отношение глубин
$$
\frac{d_2}{d_1} = \frac{1}{2}\left( \sqrt{1 + \frac{1024 Q^2 r_c}{\pi^2 g D^6} } - 1\right) = 8.0
$$