Плазма — это состояние вещества, когда оно состоит из свободных электронов и ионов. Уникальные свойства плазмы связанны именно с тем, что она является с газом из смеси заряженных частиц.
Масса электрона $m=9.10 \cdot 10^{-31}~\text{кг}$, элементарный заряд $e=1.60 \cdot 10^{-19}~\text{Кл}$.
Электроны гораздо легче ионов, поэтому их участие во всех процессах переноса оказывается на порядок значительней. Концентрацию ионов обозначим за $n_0$ (размерность $\text{м}^{-3}$) и будем считать их одинаковыми и обладающими зарядом $+e$, концентрацию электронов обозначим $n$.
Макроскопические электродинамические свойства веществ описываются в терминах диэлектрической проницаемости $\varepsilon$ и проводимости $\sigma$: в электрическом поле $\vec{E}$ имеют место объемная плотность дипольного момента $\vec{P}$ и тока проводимости $\vec{j}$ согласно формулам
\[\vec{P} = \varepsilon_0 (\varepsilon-1) \vec{E}, \quad \vec{j} = \sigma \vec{E}. \]
Можно переопределить диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$, сделав ее комплексной величиной $\tilde{\varepsilon}$, так, чтобы поляризованность включала в себя ток проводимости и выполнялось бы $\vec{j}_t = \partial \vec{P}/\partial t$.
\[\tilde{\varepsilon} = \varepsilon + \frac{i \sigma}{\omega \varepsilon_0}\]
Мы можем найти диэлектрическую проницаемость плазмы, если опишем движение движение выделенного электрона в ней. Этот электрон взаимодействует с внешним полем $\tilde{E} e^{-i\omega t}$ и полем остальных частиц. При этом нужно учесть, что плазма в среднем электронейтральна, поэтому поле отдельной заряженной частицы в ней экранируется.
В частности, если плазма покоится в отсутствии внешнего поля, то в ней средняя плотность заряда в любой точке равна нулю и, согласно уравнению Максвелла $\operatorname{div} \vec{E}=\rho/\varepsilon_0$, электрическое поле тоже всюду должно быть равно нулю. При этом каждый конкретный электрон и ион создают вокруг себя электрическое поле $\vec{E} = \pm e\vec{r}/\left( 4 \pi \varepsilon_0 r^3 \right)$ и суммарное поле всех частицы оказывается нулевым только при усреднении по конечному объему с характерным радиусом $\lambda_D$, который называют дебаевской длиной. Другими словами на расстояниях порядка $\lambda_D$ электрическое поле конкретных зарядов экранируется всеми остальными зарядами.
Пренебрегая эффектами, связанными с электромагнитной индукцией, выберем потенциал $\Phi(\vec{r})$ электрического поля. Тогда подстановка $\vec{E} = - \operatorname{grad} \Phi$ в уравнения Максвелла приводит нас к выражению
\[ -\Delta \Phi = \frac{e}{\varepsilon_0} \left(n_0 - n \right).\]При этом значение $\Phi(\vec{r})$ указывает на потенциальную энергию зарядов в конкретной точке, а термодинамическое равновесие частиц в некотором потенциальном поле описывается распределением Больцмана
\[ n(\vec{r}) = \langle n \rangle \exp \left( \frac{e \Phi}{k_\text{B}T} \right), \quad n_0(\vec{r}) = \langle n_0 \rangle \exp\left( -\frac{e \Phi}{k_\text{B}T} \right),\]где $\langle n \rangle = \langle n_0 \rangle$ - средние концентрации электронов и ионов в плазме, а потенциал электрического поля выбран так, чтобы его среднее значение было равно нулю.
Таким образом мы имеем нелинейное дифференциальное уравнение для $\Phi$:
\[ \Delta \Phi = \frac{e \langle n \rangle}{\varepsilon_0} \left[ \exp \left( \frac{e \Phi}{k_\text{B}T} \right) - \exp \left(-\frac{e \Phi}{k_\text{B}T} \right) \right] \tag{1}\]Рассмотрим поведение поля заряда $q$ в плазме на таких расстояниях, где характерная тепловая энергия гораздо больше характерной электрической, то есть $e\Phi \ll k_\text{B} T$. В таком приближении уравнение (1) становится линейным и имеет сферически-симметричное решение экранированного поля заряда $q$:
\[\Phi(r) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} e^{-r/\lambda_D}. \]
\[\Delta \Phi = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d \Phi}{dr} \right), \]найдите $\lambda_D$. Выразите ответ через $\langle n \rangle$ и $T$. Рассчитайте значение $\lambda_D$ в газовом разряде, если в нем $\langle n \rangle = 10^{16}~\text{м}^{-3}$, $T=10^4~\text{K}$.
Если $N_\text{loc} \gg1$, то в каждой точке поле неэкранированных зарядов складывается из большого числа полей, которые в итоге компенсируются, поэтому единственное поле, которое действует на каждый конкретный электрон - это внешнее поле.
У плазмы есть частота собственных колебаний: таких колебаний, для поддержания которых не требуется внешнее поле. Такие колебания также называют Ленгмюровскими волнами.