В простейшей микроскопической модели плазмы мы учитываем только взаимодействие электронов с внешним электрическим полем, то есть пишем их уравнения движения в виде
\[m\ddot{\vec{r}} = \tilde{E}e^{-i \omega t} \]
и в этой модели у плазмы получается нулевая проводимость $\sigma$. Добавим взаимодействие между заряженными частицами, связанное с рассеянием заряженных частиц друг на друге. Будем считать, что плазма состоит из электронов с зарядом $-e$ и массой $m$ и ионов с зарядом $Ze$ и массой $M\gg m$. Концентрация ионов в плазме равна $n_0$, а концентрация электронов $n$, причем плазма при усреднении по объему порядка дебаевской длины $\lambda_D$ электронейтральная, поэтому $Z n_0 = n$. Также рассматриваемая плазма "горячая" в том смысле, что $\lambda_D^3n \gg 1$.
Пусть частица зарядом $Z_1 e$ и массой $m_1$ налетает со скоростью $v_1$ и прицельным параметром $b$ на неподвижную частицу зарядом $Z_2 e$ и массой $m_2$. Будем работать с системе отсчета центра масс.
Таким образом задача рассеяния двух частиц друг на друге в системе отсчета центра масс $CM$ эквивалентна задаче рассеяния заряженной частицы на статическом поле. Введем полярные координаты $r, \theta$ c центром в $CM$.
\[u'' + Au + B = 0,\]где $u''$ - это вторая производна $u$ по углу $\theta$.
Назовем $b_{90}$ такой прицельный параметр $b$, что в системе отсчета центра масс угол отклонения $\chi$ равен $90^\circ$.
Насколько изменяется $\Delta p(b)$ проекция импульса первой частицы на направление изначального движения при рассеянии на второй частице в приближении малых углов $b \gg b_{90}$? Ответ выразите через изначальный импульс частицы $p$, $m_{1,2}$, $b$ и $b_{90}$.
Часть B. Рассеяние в среде
Давайте посмотрим, как рассеяние изменяет динамику электронов в плазме. Прежде всего, мы должны учесть, что в веществе мы должны усреднить $\Delta p(v)$ по нескольким событиям рассеяния. Найдем среднее изменение проекции импульса $\Delta p$ электрона при пролете расстояния $l$ через среду, состоящую из неподвижных ионов с объемной плотностью $n_0$:
\[\Delta p = \int\limits_0^\infty \Delta p(b) \cdot n_0 2\pi b l \, db.\]Этот интеграл расходится на обоих концах $b=0$ и $b = \infty$, поэтому будем интегрировать в других пределах. С одной стороны, формула для $\Delta p$ получена в приближении $b \gg b_{90}$, поэтому в качестве нижнего предела выберем $b_{90}$. С другой стороны поле отдельных ионов будет экранироваться на расстояниях больше длины Дебая, поэтому в качестве верхнего предела выберем $\lambda_D$. Величину $\lambda_D/b_{90}$ обозначают $\Lambda$.
Как правило, тепловое движение электронов гораздо значительней чем дрейфовое. Выберем объем $\Delta V$ электронного газа с размерами порядка дебаевской длины, который двигается со скоростью $\vec{v}_d$ при этом $|\vec{v}_d| \ll \sqrt{k_\text{B}T/m}$. В этом объеме у электронов есть некоторое распределение по скоростям, которое мы будем считать Максвелловским:
\[ f (\vec{v}) = \left( \frac{m}{2\pi k_\text{B}T} \right)^{3/2} \exp \left( -\frac{m(\vec{v}-\vec{v}_d)^2}{2k_\text{B}T} \right),\]где $f (\vec{v})$ - плотность вероятности в пространстве скоростей, то есть вектор скорость конкретного электрона лежит в области $v_x \in (v_x, v_x + dv_x)$, $v_y \in (v_y, v_y + dv_y)$, $(v_z, v_z + dv_z)$ с вероятностью
\[dP = f(\vec{v}) \, dv_x \, dv_y \, dv_z.\]Считайте известным значение интеграла Гаусса
\[\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}.\]
\[P_\text{any} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dv_x \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dv_y \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dv_z f(v_x, v_y, v_z) = 1. \]
\[ \langle \vec{F} \rangle \propto \vec{v}_d \int u^3 e^{-u^2} du.\]Заметим, что указанные приближения не меняют сущность явления и лишь приводят к неправильному численному коэффициенту.