Для калибровки необходимо расположить линзу так, чтобы источник находился в фокусе первой линзы, а экран находился в фокусе второй линзы. Фотография конечной установки приведена на рисунке ниже.

После юстировки установки возможно снять спектр светодиода LED-CON. Заметим, что это можно делать по любой из двух дифракционных картин первого порядка, так как они зеркально симметричны. Характерное изображение спектра LED-CON приведено ниже. На краях спектра LED-CON интенсивность не равна нулю, так как имеется фоновая засветка от посторонних источников. В условиях олимпиады фоновая засветка могла доходить до $1000$. Чтобы существенно её понизить, можно использовать «Экран от Солнца» так, как это предложено в задании.

После выключения LED-CON можно получить спектр фонового освещения. Спектр не прилагается, так как его вид зависит от условий эксперимента и является уникальным для каждой установки.

Заменим светодиод LED-CON на LED-RGB и снимем спектры для всех трёх цветов светодиодов: красного, синего и зелёного. Характерные графики, которые получаются при снятии показаний, представлены на рисунке ниже.

Ответ:

Как указано в условии, длина волны линейно зависит от номера пикселя: 
\[
\lambda = k_0 N + \lambda_0.
\]
Сопоставляя номер пикселя с максимальным значением интенсивности каждого цвета с длиной волны этого цвета, получим три точки. Проводя наилучшую прямую по трём точкам, получим значения $k_0$ и $\lambda_0$.

Замечание.

1. Значение $k_0$ может быть как отрицательным, так и положительным в зависимости от собранной установки.
2. Сдвиг любого элемента на расстояние порядка миллиметра может сильно изменить коэффициенты $k_0$ и $\lambda_0$, поэтому в случае сдвига следует проводить новую калибровку.

Сопоставляя номер пикселя, соответствующий максимуму интенсивности неизвестного светодиода LED-UNK, с длиной волны по формуле из предыдущего пункта, получим
\[
\lambda_{\mathrm{max,UNK}} = 587~\mathrm{нм}.
\]

Для определения среднего объёма $V_{d, \, \rm{IC}}$ капли раствора $\rm IC$ можно медленно выдавливать раствор из шприца по капле и по изменению объема жидкости внутри шприца судить о среднем объеме одной капли. На $0.5~мл$ раствора приходится примерно $100$ капель, и это значение значительно варьируется от шприца к шприцу. Само явление того, что капля удерживается на конце иглы, связано с эффектами поверхностного натяжения, и степень его проявления значительно связана с геометрией острия иглы.

В дальнейшем при измерениях в этой части не меняйте напряжение и Sensitivity!

Примечание. При наличии пузырей на стенках кювет удалите их.

В большинстве случаев оптимальными параметрами измерений являются наибольшее напряжение на LED-CON такое, что спектр src не выходит выше overflow, при наименьшем Sensitivity.

Спектр света LED-CON после прохождения через кювету с водой представлен на рисунке ниже.

Ответ:

Интенсивность источника на каждой длине волны $\lambda$ равна разности интенсивностей 'src' и 'dark' на той же длине волны $\lambda$. Построив график зависимости интенсивности источника без фоновой засветки, нетрудно получить диапазон длин волн, в котором можно изучить зависимость $\beta(\lambda)$.

Примечание. Здесь и далее после добавления исследуемого вещества в воду следует перемешивать раствор, пока он не станет однородным. При наличии пузырей на стенках кювет удалите их.

Добавляя капли исходного раствора в воду, мы меняем концентрацию $\mathrm{IC}$ в оптической кювете, что позволяет нам исследовать зависимость спектра интенсивности прошедшего через раствор света от концентрации $n$. Как указано в условии, после добавления капель следует перемешать раствор. Проще всего это сделать, закрыв крышку и встряхнув кювету. При наличии пузырьков от них можно избавиться постукиванием пальцем по стенкам кюветы.

Характерный вид спектра $\rm IC$ вместе со спектрами 'src' и 'dark' представлен на рисунке ниже. В полученных спектрах наблюдается значительное поглощение в красной области, чем объясняется синий цвет $\rm IC$.

Ответ:

Рассмотрим слой вещества толщины $dl$ и площади поперечного сечения $S$. В нем находится $dN =n S dl$ молекул. С точки зрения описанного механизма поглощения каждая из молекул является поглощающим кругом с площадью $\sigma(\lambda)$, поэтому в целом они образуют поглощающую площадь $\sigma(\lambda) dN$.

Полная мощность света, попадающего на площадь $S$ равна $P_\lambda = I_\lambda S$. Относительное уменьшение мощности пучка после прохождения через описанный слой равно отношению поглощающей площади к площади $S$:
$$\frac{dP_\lambda}{P_\lambda} = \frac{dI_\lambda}{I_\lambda} = \frac{\sigma(\lambda) dN}{S} = \sigma(\lambda) n dl.$$

Отсюда получается ответ.

Проинтегрируем выражение
$$\frac{dI_\lambda}{I_\lambda} = \sigma(\lambda) n dl$$
в нужных пределах:
$$\int_{I_{0,\lambda}}^{I_{\lambda}} \frac{dI_{\lambda}}{I_{\lambda}} = -\int_0^l n \sigma(\lambda) dl.$$
Знак «$-$» в правой части соответствует тому, что $dI_\lambda$ — уменьшение интенсивности света. После взятия интегралов, получаем ответ.
$$\ln \frac{I_{\lambda}}{I_{0,\lambda}} = - n \sigma(\lambda) l, \quad \Rightarrow\quad \sigma(\lambda) = - \frac{1}{n l} \cdot \ln \frac{I_{\lambda}}{I_{0,\lambda}}.$$

Используя формулу, полученную в предыдущем пункте задачи, выразим $\sigma(\lambda)$ через измеряемые интенсивности:
\[
\sigma(\lambda) = - \frac{1}{nL} \ln \left(\frac{I_{\rm IC}(\lambda)-I_{\text{dark}}(\lambda)}{I_{\text{src}}(\lambda) - I_{\text{dark}}(\lambda)}\right),
\]
где $n$ – концентрация $\mathrm{IC}$ в растворе в оптической кювете, $L$ — внутренняя ширина оптической кюветы.

Получим зависимость концентрации $n$ от количества добавленных капель $m$. Массовая концентрация $\mathrm{IC}$ в исходном растворе $\rho = 0.70~г/л$. Найдем концентрацию $n_0$ (размерность $1$/м$^3$) молекул индигокармина в исходном растворе:
\[
n_0 = \frac{N}{V} = \frac{\nu N_A}{m/\rho} = \frac{\nu N_A \rho}{m}= \frac{N_A \rho}{\mu_{\mathrm{IC}}},
\]
где $N$ — число молекул $\rm{IC}$ в объеме $V$ выданного раствора, $N_A$ — число Авогадро, $\mu_{\mathrm{IC}}$ — молярная масса индигокармина. Тогда количество молекул $N_\Omega$, содержащихся в $m$ каплях индигокармина равно
\[
N_m = n_0 \cdot m V_{d, \mathrm{IC}}.
\] 
Следовательно, концентрация $n$ индигокармина в полученном растворе в оптической кювете (изменение объема раствора $V_0=3.0~мл$ пренебрежимо мало)  равна
\[
n = \frac{N_m}{V_0} = \frac{N_A \rho V_{d, \mathrm{IC}}}{\mu_{\mathrm{IC}}} \cdot m.
\]
Подставляя концентрацию в выражение для $\sigma(\lambda)$, получаем выражение
\[
\sigma (\lambda) = -  \frac{ \mu_{\mathrm{IC}}}{L N_A \rho V_{d, \mathrm{IC}}} \cdot \frac{1}{m} \ln \left(\frac{I_{\rm IC}(\lambda)-I_{\text{dark}}(\lambda)}{I_{\text{src}}(\lambda) - I_{\text{dark}}(\lambda)}\right).
\]
Окончательно, линеаризованная зависимость интенсивности излучения от количества капель индигокармина
\[
\ln \left(\frac{I_{\text{src}}(\lambda) - I_{\text{dark}}(\lambda)}{I_{\rm IC}(\lambda) - I_{\text{dark}}(\lambda)}\right) = \sigma(\lambda)\cdot \frac{LN_A \rho V_{d, \mathrm{IC}}}{\mu_{\mathrm{IC}}} \cdot m.
\]

Остаётся обработать полученные данные. Для этого нужно выбрать некоторую длину волны и вычислить значение $Y_1=\ln \left(\frac{I_{\text{src}}(\lambda) - I_{\text{dark}}(\lambda)}{I_{\rm IC}(\lambda) - I_{\text{dark}}(\lambda)}\right)$ при разном количестве добавленных капель $m$. Затем следует построить зависимость $Y_1$ от $m$ и аппроксимировать её линейной зависимостью с коэффициентом наклона $\varkappa$, причем согласно полученной выше формуле:
\[
\varkappa (\lambda) = \frac{LN_A \mu V_{d, \mathrm{IC}}}{\mu_{\mathrm{IC}}} \cdot \sigma(\lambda).
\]
 

Повторяя описанную процедуру для $10$-ти разных длин волн из диапазона, найденного в пункте B3, можно получить $10$ разных линейных зависимостей, по угловым коэффициентам которых можно вычислить значение сечения поглощения $\sigma(\lambda)$. Вообще говоря, по полученным данным можно получить значение $\sigma(\lambda)$ для каждого пикселя и соответствующей ему длины волны, не ограничиваясь 10-ю значениями. График $\sigma(\lambda)$ для всех точек, посчитанных по описанной процедуре, изображён на рисунке ниже. Ширина залитой сплошным цветом области на графике - статистическая ошибка при аппроксимации $Y_1$ от $\Omega$ прямой.

Полученный график следует сгладить, чтобы он лучше отражал форму итогового спектра сечения поглощения $\sigma(\lambda)$

Ответ:

Характерное значение максимума сечения поглощения
\[
\sigma \sim 5 \cdot 10^{-21}~\text{м}^2.
\]

Рассчитаем концентрацию раствора $\rm NaOH$ молярной концентрации $c_0 = 0.30~\text{моль/л}$. В растворе находятся ионы двух видов

Поскольку все ионы в растворе обладают зарядовым числом, по модулю равным 1, а концентрация каждого из видов ионов совпадает с концентрацией соответствующего им растворяемого вещества, можно записать:

$$J_0=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{2c_1 V_{\rm NaOH}N_A}{V_{\rm NaOH}+V_{\rm NaCl}+V_{w}}+\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{c_1 V_{\rm NaCl}N_A}{V_{\rm NaOH}+V_{\rm NaCl}+V_{w}}=N_A \cdot c_0$$

Упростив выражение, получим чему должен равняться объем добавленной дистиллированной воды:

$$V_\text{w} = \frac{2 c_1 V_{\rm NaOH}+ c_1 V_{\rm NaCl}}{c_0} - V_{\rm NaOH} - V_{\rm NaCl} $$

Если мы рассмотрим раствор, в котором концентрации $\rm NaCl$ и $\rm NaOH$ и равны $c_0$, то связь, полученная в C2 будет выглядеть следующим образом:
$$V_w = \frac{c_0 V_{\rm NaOH} + c_o V_{\rm NaCl}}{c_0} - V_{\rm NaOH} - V_{\rm NaCl} = 0.$$
Из этого выражения можно сделать вывод, что объем добавленной дистиллированной воды должен равняется нулю, а соотношение объемов $\rm NaCl$ и $\rm NaOH$ в смеси может быть любыми.

Получим спектр света LED-CON, прошедшего через кювету, чтобы учесть поглощение материала кюветы и всевозможные отражения. Подберем такую чувствительность, чтобы спектр не пересекал уровень «Overflow» и не изменял свою характерную форму при приближении к нему. Измерим спектр фонового освещения при той же чувствительности. Интенсивность фонового сигнала может отличаться от той, что получалась в предыдущих пунктах.
После прохождения кюветы со смесью растворов $\rm NaOH$ и $\rm Na Cl$ свет от источника теряет интенсивность, но его спектр сохраняет характерный вид: узкий и высокий пик в синей части спектра, низкий и широкий — в зелёно-красной.

Проведем измерения спектров пропускании от времени для 5 растворов различной концентрации ионов $\rm (OH)^-$, как требуется в условии, измеряя перед каждым зависимостью интенсивность фонового освещения. Время проведения эксперимента будет зависеть от того, насколько велика концентрация $\rm NaOH$, и будет увеличиваться по мере её уменьшения.

Отличие формы спектра, полученного в этой части задачи, от спектра источника излучения, полученного в С4, обусловлено наличием поглощения у раствора в кювете. Поглощение приводит к существенному уменьшению интенсивности прошедшего света в диапазоне длин волн 500-600 нм.

С течением времени, поглощение будет уменьшаться, из-за уменьшения концентрации фенолфталеина $\rm In$, пока концентрация не достигнет равновесного состояния. Чем больше исходная концентрация $\rm (OH)^-$, тем быстрее достигается равновесное состояние.

Для того, чтобы найти длину волны, на которой достигается максимальное поглощение, необходимо построить график $\beta(\lambda)$. Выберем данные, которые будем использовать в процессе построения графика. Используем массив спектров, полученных при эксперименте с использованием раствора NaOH с наименьшей концентрацией. Такой выбор обусловлен тем, что концентрация ионов $\rm (OH)^−$ всегда будет избыточной по сравнению с концентрацией фенолфталеина, но при этом процесс будет происходить существенно медленнее, чем в чистом растворе $\rm NaOH$. Это даст больше времени и позволит измерить поглощение до того, как оно снизится на значительную величину после начала реакции. Среди всех моментов времени, в которые был измерен спектр этого раствора, выберем близкий к начальному, так как равновесное состояние еще не было достигнуто, а следовательно поглощение не уменьшилось.

Для этих данных рассчитаем значение коэффициента $\beta$, используя информацию о фоновой засветке:

$$\beta (\lambda) = \ln \frac{I_{\text{src}}(\lambda)- I_{\text{dark}}(\lambda)}{I_{\rm In}(\lambda)- I_{\text{dark}}(\lambda)}$$

Построим график зависимости $\beta(\lambda)$. На основании графика получаем ответ для $\lambda_\text{max, In}$.

Исследованная в предыдущем пункте величина $\beta (\lambda)$ выражается через $\sigma(\lambda)$ и концентрацию $n$:
$$\beta(\lambda) = \sigma(\lambda) n.$$
При фиксированной длине волны $\sigma(\lambda) = \text{const}$, поэтому $n \propto \beta$. Так как мы можем рассчитывать концентрацию $\rm In$ в условных единицах, в качестве этих условных единиц будем использовать величину $\beta (\lambda)$, которая оказывается прямо пропорциональна концентрации $n$.

Исследование будем проводить для длины волны $\lambda_\text{max, In}$.

Для каждой из 5 концентраций ионов $\rm (OH)^-$ рассчитаем зависимости $\beta (t)$ для длины волны $\lambda_\text{max, In}$ и построим их графики. Полученные графики имеют следующий вид: это убывающие зависимости, которые выходят на насыщение, причем скорость убывания тем больше, чем больше концентрация ионов $\rm (OH)^-$.

Примечание: следующий пункт С9 может быть выполнен без этого пункта.

Для того, чтобы изучить скорость реакции в зависимости от концентрации, необходимо найти производную концентрации по времени, вместо которой будем использовать производную величины $\beta$ по времени, так как они равны друг другу с точностью умножения на константу. Численное вычисление производной осложняется существенным шумом сигнала с CCD линейки. Предлагается уменьшить влияние шума, рассчитывая производную следующим образом:
$$\dfrac{d\beta}{dt}\bigg|_N=\dfrac{\beta_{N+10}-\beta_{N-10}}{t_{N+10}-t_{N-10}}.$$
Произведем расчет производной $\dfrac{d\beta}{dt}$ для каждой из концентраций и построим график зависимости $r(n)$ в условных единицах (то есть $\dfrac{d\beta}{dt}(\beta)$) для каждого из экспериментов.

Опишем кинетику происходящей химической реакции теоретически.

$$r = - \frac{dn_{\rm In^{2-}}}{dt} = r_{\text{com}} - r_{\text{decom}}$$.
Как указано в условии
$$r_{\text{com}} = \chi (n_{\rm In^{2-}}) (n_{\rm (OH)^-})^p, \\ r_{\text{decom}} = \psi (n_{\rm{In}^{2-}\rm({OH})_p^{p-}}),$$
где $\chi$, $\psi$ — константы.

Поскольку общее количество молекул фенолфталеина во всех состояниях остается неизменным, можно сказать, что:

$$n_{\rm In^{2-}} + n_{\rm{In}^{2-}\rm({OH})_p^{p-}} = const = n_0. $$

Тогда можно записать следующее выражение для скорости реакции:

$$ - \frac{dn_{\rm In^{2-}}}{dt} = (n_{\rm In^{2-}}) (\chi (n_{\rm (OH)^-})^p + \psi) - \psi n_0.$$

Согласно обозначениям, введенным в условии задачи $ - \dfrac{dn_{\rm In^{2-}}}{dt} = r$, $n_{\rm In^{2-}}=n$

$$ r = n (\chi (n_{\rm (OH)^-})^p + \psi) - \psi n_0.$$

Поскольку гидроксильные ионы присутствуют в сильном избытке, можно считать, что $n_{\rm (OH)^-} = const$. В таком случае, зависимость $r(n)$ оказывается линейной с коэффициентом наклона равным $\chi (n_{\rm (OH)^-})^p + \psi$. Построенные графики подтверждают полученную нами теоретическую зависимость.

На основании полученных выражений можно утверждать, что зависимости, полученные в C7 являются экспоненциальными, а их выход на насыщение соответствует условию $r=0$, или $r_{\text{com}} = r_{\text{decom}}$.

Условия выхода на насыщение $r_{\text{com}} = r_{\text{decom}}$, или $$\chi (n_{\rm In^{2-}}) (n_{\rm (OH)^-})^p = \psi (n_{\rm{In}^{2-}\rm({OH})_p^{p-}}).$$

После выхода концентрации в стационарный режим раствор оказывается очень слабо окрашенным, что говорит о том, что конечная концентрация $\rm In^{2-}$ мала, то есть $n_{\rm In^{2-}} \ll n_{\rm{In}^{2-}\rm({OH})_p^{p-}}$. Это значит, что $\psi \ll \chi (n_{\rm (OH)^-})^p$.

По графикам зависимости, построенным в пункте С8, рассчитаем коэффициенты наклона $k$. Если считать, что $k = \chi (n_{\rm (OH)^-})^p$ ($\psi \ll \chi (n_{\rm (OH)^-})^p$), то построив график зависимости $\ln(k)(\ln(n_{\rm (OH)^-}))$ мы получим величину $p$ в качестве коэффициента наклона графика. Коэффициент наклона графика равен $1.1$. Так как $p$ заведомо целое, мы можем утверждать, что $p=1$.

Для проверки предположения о том, что $\psi \ll \chi (n_{\rm (OH)^-})^p$, можно построить график зависимости $k$ от $n_{\rm (OH)^-}$. Поскольку эта зависимость является линейной и выходит из нуля, наше предположение верно.

Стоит отметить, что получить величину $p$ можно было и при помощи построения других графиков, применяя иные способы анализа.

Добавьте $0.15~мл$ индигокармина $\rm IC$ в кювету и пронаблюдайте изменение цвета раствора с течением времени. Запишите в таблицу в листах ответов, в каком порядке наблюдаются цвета.

Для каждого цвета запишите время $t$ с начала реакции, когда цвет проявляется в наибольшей степени. 

Реакцию можно <<перезапустить>>, если в раствор добавить кислород. Для этого можете закрыть кювету крышкой и интенсивно встряхнуть.

Раствор сперва имеет зелёный или сине-зелёный цвет, затем становится фиолетовым, после — оранжевым, а в конце желтеет. Характерное время появления фиолетового $t_1 \in~[30~с;90~с]$, оранжевого — на $\Delta t~\in~[30~с;120~с]$ позднее, а переход от оранжевого к жёлтому происходит плавно. Более быстрым переход к фиолетовому оказывается при неправильных концентрациях реактивов или при «перезапуске» реакции.

Интенсивность фонового сигнала может отличаться от той, что получалась в предыдущих пунктах.

После прохождения кюветы со смесью растворов $\textrm{NaOH}$ и $\textrm{Gl}$ свет от источника теряет интенсивность, но его спектр сохраняет характерный вид: узкий и высокий пик в синей части спектра, низкий и широкий — в зелёно-красной. Вершины пиков симметричны.

Изначально спектр света, прошедшего через раствор, имеет форму, схожую с формой спектра источника, а затем  наблюдается следующая динамика: 

• в красной области интенсивность плавно убывает;
• в зелёной области интенсивность сперва плавно нарастает, затем резко убывает, а затем снова плавно нарастает;
• в синей области интенсивность сперва плавно нарастает, а затем плавно убывает.

Согласно определению коэффициента $\beta$, которое было дано в части B, \[L \beta (\lambda) = \ln\left(\frac{I_\text{src}(\lambda)-I_\text{dark}(\lambda)}{I_{\rm IC}(\lambda)-I_\text{dark}(\lambda)}\right).\] Графики спектра поглощения $\beta(\lambda)$ соответствуют динамике спектра, описанной в прошлом пункте.

Ответ:

Считайте, что каждое состояние молекулы $\rm IC$ обладает собственным уникальным спектром поглощения в видимом диапазоне длин волн, и прозрачных в видимом диапазоне длин волн состояний молекулы $\rm IC$ нет!

В момент времени $t_1$ в кювете преобладает «нейтральное» состояние $\textrm{IC}$, то есть то, которое индигокармин имеет в нейтральной среде. Спектр поглощения нейтрального состояния $\beta_n(\lambda)$ был получен в части B. В момент времени $t_4$ состояние $\textrm{IC}$ в кювете установилось, назовём это состояние конечным. Его спектр поглощения $\beta_f(\lambda)$ рассчитывается по формуле из прошлого пункта. Построим $\beta_n(\lambda)$ и $\beta_f(\lambda)$ на одном графике.

Заметим, что огибающая этих графиков отличается от огибающей графиков, полученных в части D3, только отсутствием пика в окрестности $\lambda = 540 \text{ нм}$. Следовательно, молекулы $\textrm{IC}$ проходят через три состояния.

В каждый момент времени в кювете находится смесь молекул $\textrm{IC}$ в трёх состояниях: нейтральном ($n$), переходном ($i$), финальном ($f$). Обозначим концентрации этих состояний $n_n(t)$, $n_i(t)$, $n_f(t)$, а соответствующие сечения поглощения — $\sigma_n(\lambda)$, $\sigma_i(\lambda)$, $\sigma_f(\lambda)$. Тогда в соответствии с пунктом B5 

\[ L\beta(\lambda,t) = \sigma_n(\lambda)n_n(t) +\sigma_i(\lambda) n_i(t) + \sigma_f(\lambda) n_f(t), \] где 

\[ L\beta(\lambda,t) = \ln\left(\frac{I_\text{src}(\lambda)-I_\text{dark}(\lambda)}{I_{\rm IC}(\lambda,t)-I_\text{dark}(\lambda)}\right). \] Как следует из полученных в пункте D3 графиков, поглощение на длине волны $\lambda_n \approx 600~\text{нм}$ практически полностью обусловлено наличием в растворе индигокармина в первом состоянии. Поэтому концентрация нейтрального состояния $\textrm{IC}$, выраженная в условных единицах, может быть вычислена по формуле 

\[ n^*_n(t) = L\beta(\lambda_n,t). \] Вычтем вклад нейтрального состояния в поглощение на прочих длинах волн и построим графики функций 

\[ f_i(\lambda) = L\beta(\lambda,t_i)-n_n^*(t_i) \cdot \frac{\sigma_n(\lambda)}{\sigma_n(\lambda_n)}, \] где $\sigma_n(\lambda)$ — спектр сечения поглощения, полученный в пункте B4.

К моменту времени $t_4$ в кювете остаётся только конечное состояние $\textrm{IC}$, следовательно,
\[ \sigma_f (\lambda) = \frac{l\beta(\lambda, t_4)}{n_f(t_4)}. \] Это позволяет вычесть вклад конечного состояния $\textrm{IC}$ в спектр поглощения. Для этого построим графики функций
\[ g_i(\lambda) = f_i(\lambda)-n_f^*(t_i) \cdot \frac{\beta(\lambda, t_i)}{\beta(\lambda_f, t_i)}.\]

Из аналогичных соображений, концентрации каждого из состояний могут быть вычислены по формулам
\[ n^*_n(t) = L\beta(\lambda_n,t). \] \[ n^*_i(t) = L\beta(\lambda_i,t)-n_n^*(t) \cdot \frac{\sigma_n(\lambda_i)}{\sigma_n(\lambda_n)} - n_f^*(t)\cdot \frac{\beta(\lambda_i, t)}{\beta(\lambda_f, t)}. \] \[ n^*_f(t) = L\beta(\lambda_f,t)-n_n^*(t) \cdot \frac{\sigma_n(\lambda_f)}{\sigma_n(\lambda_n)}. \] Графики функций $n^*_i(t)$ приведены на рисунке.