Магнитный диполь с дипольным моментом $\vec{\mu}_1$, направленным вдоль оси $x$, расположен в начале координат. Другой диполь помещают на расстоянии $r$ от начала координат под углом $\theta$ к оси $x$. Дипольный момент второго диполя $\mu_2$ направлен под углом $\alpha$ к оси $x$ (см. рис. 1).

A1 Найдите магнитное поле $\vec{B}(\vec{r})$, создаваемое первым диполем в окрестности второго диполя. Выразите ответ через магнитную проницаемость вакуума $\mu_0$, $r$, $\theta$ и $\mu_1$.

S

A2 Найдите момент сил $\vec{M}$, действующих на второй диполь. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$.

S

A3 Найдите энергию взаимодействия диполей $U$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$.

A4 Найдите силу $\vec{F}$, действующую на второй диполь. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$.

S

Центры масс диполей соединяют невесомым стержнем, из-за чего расстояние между ними постоянно и равно $R$. Стержень может свободно вращаться вокруг начала координат (первого диполя). Направление первого диполя фиксировано, в то время как второй диполь может свободно вращаться. Движение происходит в плоскости $xy$, масса второго диполя равна $m$, его момент инерции относительно центра масс равен $I$.

A5 Найдите $\ddot{\theta}$ и $\ddot{\alpha}$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $R$, $\theta$, $\alpha$, $m$ и $I$.

S

Пусть теперь $\theta$ и $\alpha$ малы. Тогда система будет совершать гармонические колебания, которые можно разложить на моды. Модой называется движение системы, при котором координаты меняются колеблются с одной частотой, а также синфазно, т.е. $\theta = \theta_0 \cos \left( \omega t + \varphi \right)$, $\alpha = \alpha_0 \cos \left( \omega t + \varphi \right)$. Соответствующие частоты называются собственными частотами.

A6 Найдите собственные частоты колебаний системы $\omega_1$ и $\omega_2$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $R$, $m$ и $I$.

S

A7 Для обеих мод найдите отношение амплитуд $c_1 = \alpha_1/\theta_1$ и $c_2 = \alpha_2/\theta_2$. Выразите ответ через $m$, $R$ и $I$.

S

В начале второй диполь покоится на оси $x$, а угол $\alpha$ равен $\beta \ll 1$. В момент времени $t=0$ второй диполь отпускают.

A8 Зависимость углов от времени можно представить как
\begin{align*}
\theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\
\alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right).
\end{align*}Найдите $\theta_1$, $\theta_2$, $\varphi_1$ и $\varphi_2$. Выразите ответ через $\omega_1$, $\omega_2$, $c_1$, $c_2$ и $\beta$.

S