Экспериментальная установка

В этом эксперименте используется медный стержень длиной $57.0~ см$ и диаметром $1.20~ см$, помещённый внутрь металлического ящика, опирающегося на квадратные фланцы (рис. 1). Металлический ящик служит для изоляции потока воздуха внутри.

Как показано на рисунке 2, по $7.0~ см$ с каждого конца стержня изолированы пенополистиролом. В стержне просверлено семь отверстий на равных расстояниях по $7.0~ см$. Глубина отверстий равна $0.6~ см$, и в каждое из них помещен датчик температуры (терморезистор). Эти датчики пронумерованы от 1 до 7 слева направо. Аналогичный датчик под номером 8 помещен внутрь металлического ящика для измерения его температуры (обозначена $\theta_\mathrm b$).

На двух концах стержня в просверленных продольно отверстиях длиной $5.2~ см$ установлены два электрических нагревателя с разной мощностью. Левый и правый нагреватели пронумерованы как №2 и №3 соответственно. Четыре вентилятора в верхней части металлического ящика используются для создания потока воздуха внутри ящика и вокруг стержня. Эти вентиляторы, а также медный стержень видны снизу ящика, как показано на рисунке 3.

Спереди установлена панель управления AVA-T403. На этой панели находятся все переключатели для управления различными компонентами установки: вентиляторами, нагревателями, секундомером и т.д. На мониторе панели управления отображаются все измерения, сделанные датчиками. Питание, необходимое для работы всех приборов, обеспечивается блоком питания $24~ В$, подключенным к розетке. Он находится рядом с металлическим ящиком.

Справа от панели управления установлен меньший медный стержень длиной $12.0~ см$, который также обёрнут пенополистиролом. В продольное отверстие справа вставлен нагреватель №1 с выходной мощностью $1 . 95 \pm 0 . 06~ Вт$, как показано на рис. 4. На другом конце просверлено еще одно продольное отверстие, в которое вставлен терморезистор PT100 (платиновый термометр-100), а также аналогичный восьми другим датчикам температуры терморезистор R9. Эти два датчика и нагреватель подключены к AVA, и AVA показывает значения их сопротивления (в омах).

Обратите внимание на следующие моменты:

1. Не прикасайтесь к кнопкам на оборудовании и не приводите их в действие до тех пор, пока этого явно не просят в условии.
2. Вам не нужно делать с установкой ничего, помимо указанного в условии. Будьте осторожны, чтобы не нарушить её состояние и не отсоединить провода.
3. Не перемещайте установку во время эксперимента.
4. Если на мониторе появится сообщение «Turn off Heater1», немедленно выключите нагреватель №1.
5. Включение нагревателей приводит к повышению температуры, поэтому системе потребуется дополнительное время для достижения равновесного состояния. Не включайте нагреватели без необходимости.
6. Вычисление погрешностей требуется для тех значений, напротив которых в листах ответов присутствует знак $\pm$.
7. Коэффициент корреляции (обозначается $\mathrm{reg}$ в условии и $r$ на калькуляторе) – это число от $1$ до $-1$, показывающее, насколько хорошо данные могут быть описаны линейной зависимостью. Если $\mathrm{reg}=1$, это означает, что данные полностью лежат на прямой.
   Для расчёта погрешности углового коэффициента b линейной зависимости вы всегда должны использовать формулу:\[\Delta b=b\sqrt{\frac{1}{n-2}\left(\frac{1}{\mathrm{reg}^2}-1\right)},\]где $n$ – число экспериментальных точек.

Оборудование

1. Резисторы могу вести себя по-разному в ответ на изменение температуры. Одним из широко используемых резисторов является PT100, сопротивление которого ведёт себя линейно в значительном диапазоне температур, т.е.:\[R=R_0(1+\alpha\theta),\tag{1}\]где $R_0$ – значение сопротивления при $0\,{}^\circ\mathrm C$, $\alpha$ – постоянный коэффициент (в диапазоне температур данной задачи), а $\theta$ – температура в градусах Цельсия. Значение $\alpha$ для резистора, используемого в этой задаче, равно $0.0039083 \,{}^\circ\mathrm C^{-1}$. Для PT100, $R_0=100.00~ Ом$.
2. Терморезисторы с 1 по 9 ведут себя нелинейно в ответ на изменение температуры и обычно используются для измерения небольших изменений температуры. Сопротивление этих терморезисторов изменяется с температурой следующим образом:\[R'=R'_0\exp\left[\frac{E_\mathrm g}{2k_\mathrm BT}\right].\tag{2}\]Здесь $R'_0$ – постоянная величина, $k_\mathrm B=8.61733\cdot10^{-5}~ эВ/К$ – постоянная Больцмана, $T$ – температура в кельвинах, а $E_\mathrm g$ – так называемая ширина запрещённой зоны полупроводникового материала терморезистора. Напоминаем, что $T=(\theta+273.15)~К$.
3. Цифровое устройство AVA было разработано иранскими инженерами специально для этого эксперимента. AVA измеряет мгновенные сопротивления терморезисторов с 1 по 9 и PT100 каждые две секунды. Затем, основываясь на формуле (2), оно выводит на экран температуру этих датчиков, кроме терморезистора №9, для которого отображается только значение сопротивления. Слева на мониторе AVA в столбик отображаются температуры датчиков с 1 по 7. В последней строке отображается либо температура датчика 8, либо сопротивление датчика 9 ($R_9$). Вы можете переключаться между этими двумя значениями, нажимая кнопку $\theta_\mathrm b-R_9$ показанную на рисунке 5.
   В AVA также есть секундомер, который работает так же, как и любой его привычный аналог: при нажатии кнопки Start/Stop секундомер начинает измерять прошедшее время, а повторное нажатие кнопки Start/Stop останавливает отсчёт. Во время работы секундомера нажатие кнопки Lap приводит к сохранению всех отображаемых значений. При нажатии на ту же кнопку, когда секундомер не работает, показания сбрасываются, однако сохраненные данные не стираются. Чтобы стереть данные, необходимо нажать и удерживать кнопку Lap/Reset в течение 5 секунд.
   Сохраненные данные можно просмотреть, повторно нажав кнопку Next/Prev: нажатие Prev показывает предыдущее значение, нажатие Next – следующее. Все сохраненные данные удаляются при выключении и включении устройства. Устройство не выключается автоматически.
4. Как показано на рисунке 5, на панели AVA есть один переключатель для включения и выключения вентиляторов, а также три переключателя для включения нагревателей. Значок каждого переключателя находится под ним. Мощность первого нагревателя равна $1.95~ Вт$, мощность второго нагревателя указана на устройстве (см. рис. 6), а мощность третьего нагревателя неизвестна.

Теория

В этой задаче тепло передается внутри стержня посредством теплопроводности, а от стержня к окружающему воздуху – посредством естественной или принудительной конвекции. Кроме того, из-за теплоемкости стержня часть тепла, попадающего в стержень, уходит на повышение его температуры.

(a) Теплопроводность: для проводящего тепло материала в форме стержня скорость теплопередачи $\mathrm dQ/\mathrm dt$ через малый участок (рис. 7) без потерь тепла на боковой поверхности в установившемся режиме выглядит следующим образом:\[\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=-kA\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dx},\tag{3}\]где $\mathrm d\theta$ – разность температур между двумя краями дифференциального элемента, $A$ – площадь поперечного сечения, $\mathrm dx$ – длина рассматриваемого малого участка, а $k$ – коэффициент теплопроводности, который зависит от типа материала, из которого изготовлен стержень.

(b) Конвекция: Для любого объекта, обменивающегося теплом с воздухом через свою боковую поверхность, справедливо следующее соотношение:\[\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=-hS\Delta\theta,\tag{4}\]где $S$ – площадь боковой поверхности, $\Delta\theta$ – разность температур между объектом и окружающим воздухом, а $h$ – коэффициент конвективной теплопередачи, который зависит от формы объекта и характера теплового потока через боковые поверхности объекта.

Эксперимент

Чтобы сэкономить время, мы рекомендуем вам включить нагреватель 2 и вентиляторы, которые понадобятся в части B. Убедитесь, что другие нагреватели при этом выключены.

Часть A. Короткий медный стержень (3.9 балла)

A0 Запишите цифры от 0 до 9 в таблицу.

Перед включением нагревателя 1 маленький стержень имеет ту же температуру, что и окружающая среда. Пункты A1 – A3 относятся к процессу нагревания, а пункты A4 – A7 – к процессу охлаждения стержня.

A1  ^0.20 Запишите начальное значение сопротивления $R_\mathrm{env}$ для PT100, когда он находится при температуре окружающей среды. Используя уравнение $(1)$, вычислите эту температуру.

Обозначим суммарную теплоемкость стержня, нагревателя и датчиков как $C_S$. Чтобы найти $C_S$, необходимо включить нагреватель 1 и измерять значения сопротивления в течение не менее 150 секунд. Обратите внимание, что нагрев и охлаждение датчиков происходят с временной задержкой.

A2  ^0.50 Через промежутки времени примерно в 10 секунд записывайте значение $R$. Проделайте это не менее 15 раз.

A3  ^0.80 Постройте график снятой в пункте A2 зависимости, проведите по точкам прямую и найдите её угловой коэффициент. Из углового коэффициента найдите $C_S$.

Подождите, пока значение $R$ не достигнет $120~Ом$, а затем выключите нагреватель 1. Через несколько секунд температура стержня и сопротивление $R$ начнут медленно уменьшаться. Когда PT100 остывает, его сопротивление определяется по формуле:\[R-R_\mathrm{env}=A\mathrm e^{-\gamma t},\tag{5}\]где $A$ и $\gamma$ – некоторые постоянные.

A4  ^0.50 Снимите зависимость от времени величины $R-R_\mathrm{env}$.

A5  ^0.70 Постройте на миллиметровке в листах ответов полулогарифмический график зависимости, снятой вами в пункте A4. Вычислите отсюда $\gamma$.

Благодаря изолятору, который обёрнут вокруг стержня, резисторы быстрее достигают теплового равновесия, а стержень имеет более равномерный температурный профиль.

A6  ^0.50 Измерьте и запишите сопротивление $R_9$ терморезистора 9, выраженное в единицах $R$. Проведите измерение не менее чем при семи различных значениях $R$ в диапазоне $114-120~Ом$.

A7  ^0.70 Постройте полулогарифмический график зависимости $R_9$ от $1/T$ на миллиметровке в листах ответов и вычислите по нему ширину запрещённой зоны $E_\mathrm g$ в электронвольтах (эВ).

Часть B. Длинный медный стержень (4.1 балла)

Прежде чем приступать к этой части, дождитесь, когда стержень достигнет равновесного состояния, то есть когда измеренные температуры во всех точках будут постоянными. Обозначим температуры терморезисторов 1 – 7 как $\theta_1$–$\theta_7$ соответственно. Положение терморезистора 1 соответствует $x=0$. .

B1  ^0.40 Когда стержень достигнет равновесного состояния, измерьте и запишите температуру $\theta_\mathrm b$, а также температуры $\theta_x$ семи точек на стержне.

Чтобы сэкономить время, сначала ознакомьтесь с частью C, а затем продолжите часть B.

B2  ^0.40 Постройте на миллиметровке в листах ответов полулогарифмический график зависимости разности между температурой в точке $x$ и температурой в ящике, $\theta_x-\theta_\mathrm{b}$, от положения $x$ вдоль стержня.

Можно показать, что зависимость температуры от расстояния $x$ до нагревателя 2 описывается следующим соотношением:\[\theta_x=\theta_\mathrm b+A\mathrm e^{-\lambda x}+B\mathrm e^{\lambda x},\tag{6}\]где $\theta_\mathrm b$ – температура воздуха в ящике, $A$ и $B$ – некоторые постоянные, а $\lambda=\sqrt{2h/kr}$, где $r$ – радиус стержня. В первом приближении можно проигнорировать точки с большими значениями $x$, и принять $B$ равным нулю. В этом случае мы можем в первом приближении найти $\lambda$ и $A$, назовем их $\lambda^0$ и $A^0$.

B3  ^0.60 Используя температуры $\theta_1$–$\theta_5$ и график из пункта B2, найдите $\lambda^0$ и $A^0$.

Температура на самом дальнем от нагревателя конце стержня $x=d$ не меняется при малом изменении $x$. Это можно использовать для определения $B$ при известных $\lambda$, $A$ и $d$.

B4  ^0.40 Выразите $B$ через $\lambda$, $A$ и $d$. Используя результаты пункта B3, вычислите $B$ при $d= 44 . 0 ~см$. Обозначим полученное значение как $B^1$.

Теперь мы можем использовать полученное значение $B$ для уточнения предыдущих расчётов. Для этого введём величины:\[\theta'_x=\theta_x-B^1\mathrm e^{\lambda^0x}.\]

B5  ^0.40 Вычислите значения от $\theta'_1$ до $\theta'_7$ и заполните соответствующие столбцы в таблице в листах ответов для пункта B1.

B6  ^1.00 Постройте на миллиметровке в листах ответов новый полулогарифмический график, позволяющий получить уточнённые значения $\lambda$ и $A$. Обозначим эти значения как $\lambda^1$ и $A^1$ соответственно.

Для получения точного решения необходимо многократно повторять процесс корректировки значений, но в итоге мы обнаружим, что окончательный ответ близок к $\lambda=\dfrac{\lambda^0+\lambda^1}{2}$ и $A=\dfrac{A^0+A^1}{2}$.

B7  ^0.90 Из условия равенства мощности, входящей в стержень, и мощности, выходящей из него, вычислите $h$ и $k$.

Часть C. Измерение неизвестной мощности (2.0 балла)

Оставляя вентиляторы включенными, включите нагреватели 2 и 3 и подождите, пока температура не достигнет равновесия во всех точках медного стержня (это займет около 15 минут).

C1  ^0.40 Измерьте и запишите значения температур с $\theta_1$ по $\theta_7$.

Можно показать, что в этом случае зависимость температуры от расстояния $x$ выражается следующим образом:\[\theta_x-\theta_\mathrm b=A'\operatorname{ch}\left[\lambda(x-x_0)\right],\]где $A'$ – постоянная, а $\operatorname{ch}(u)$ -- гиперболический косинус $u$, который определяется как:\[\operatorname{ch}(u)=\frac{\mathrm e^u+\mathrm e^{-u}}{2}.\]

C2  ^0.60 Постройте график зависимости температуры от расстояния и вычислите отсюда $x_0$.

C3  ^1.00 Используя свой собственный метод, вычислите мощность нагревателя 3. Поясните свой метод как можно яснее, записав в явном виде математические формулы, которые вы использовали для получения результатов.