В 2021 году Сюкуро Манабэ и Клаус Хассельман получили половину Нобелевской премии по физике за работу по моделированию климата Земли и точное предсказание глобального потепления, вызванного промышленной деятельностью человека. В этой задаче мы рассмотрим простую модель глобального потепления, вызванного парниковым эффектом. Парниковые газы изменяют оптические свойства земной атмосферы, пропуская или поглощая инфракрасное излучение Земли, что приводит к повышению средней температуры планеты.

Все тела при различных температурах испускают тепловое излучение. Величина $u(\lambda, T) \,\mathrm du$ есть мощность теплового излучения с единицы площади тела при температуре $T$ в интервале длин волн от $\lambda$ до $\lambda + \mathrm d \lambda$. Согласно формуле Планка для излучения черного тела:

$$u(\lambda, T) = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{\exp \left( \dfrac{hc}{\lambda k_B T} \right) -1 },$$

где $hc=1.24 \cdot 10^3~эВ \cdot нм$ и $k_B=8.62 \cdot 10^{-5}~эВ \cdot К$. Длина волны, соответствующая максимуму $u(\lambda, T)$, находится из выражения $\lambda_{\max}T = b$ (закон смещения Вина). Можно показать, что $b={hc}/{x_\text{m}k_B}$, где $x_\text{m}$ — некоторая безразмерная величина, которая является ненулевым корнем уравнения $f(x)=0$. Вам потребуется найти функцию $f(x)$ в одном из пунктов. Полная мощность излучения с единицы площади черного тела во всех длинах волн определяется законом Стефана — Больцмана как $U(T)=\sigma T^4$, где $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}~Вт /(м^2 \cdot К^4)$. Более того, согласно закону излучения Кирхгофа, при тепловом равновесии тело, поглощающее определенную долю падающего излучения на определенной длине волны, будет излучать такую же долю излучения черного тела на этой же длине волны.

В этой задаче считайте, что Солнце является абсолютно чёрным телом со средней температурой его поверхности $T_S=5.77 \cdot 10^3~К$. Радиус Солнца $R_S=6.96 \cdot 10^8~м$, среднее расстояние между Землей и Солнцем составляет $d=1.50 \cdot 10^{11}~м$. Обозначим спектральную мощность излучения Солнца на единицу площади Земли, нормальной к направлению излучения, как $\tilde{u}_S (\lambda)$. Интеграл от этой величины по всем длинам волн

В этой задаче предполагается, что Земля находится в тепловом равновесии и имеет одинаковую температуру во всех точках своей поверхности.

Во всех пунктах задачи выражайте искомую величину в общем виде через величины, приведенные в условии, а затем находите её численное значение с точностью до трёх значащих цифр. Необходимые единицы измерения указаны в листах ответов.

Часть A. Земля как черное тело (3 балла)

В этой части рассмотрим поверхность Земли как черное тело и пренебрежем земной атмосферой.

A1  ^0.60 Найдите солнечную постоянную $S_0$.

A2  ^0.60 Найдите температуру Земли $T_E$.

A3  ^0.40 Найдите функцию $f(x)$.

A4  ^0.40 Вычислите значение $x_{\text{m}}$ и используя это значение $x_{\text{m}}$ найдите значение $b$.

A5  ^0.20 Найдите $\lambda_{\max}$ для Солнца и для Земли.

На рисунке 1 показаны функции $\gamma \tilde{u}_S (\lambda)$ и $u(\lambda, T_E)$, где $\gamma$ — некоторый безразмерный коэффициент, роль которого — отмасштабировать $\tilde{u}_S (\lambda)$ так, чтобы две функции имели одинаковый максимум.

A6  ^0.80 Найдите $\gamma$.

Часть B. Парниковый эффект (7 баллов)

В этой части мы рассмотрим простую модель, в которой земная атмосфера моделируется как тонкий слой на небольшом расстоянии над поверхностью Земли, так что разницей между площадью слоя атмосферы и площадью поверхности Земли можно пренебречь (см. рис. 2). В дальнейшем будем считать, что основная часть теплового излучения Земли и Солнца испускается на длинах волн, близких к $\lambda_{\max }$ для каждого из них. Также предположим, что слой атмосферы отражает часть $r_{\mathrm{A}}=0.255$ видимого и ультрафиолетового излучения, падающего сверху или снизу, и полностью пропускает остальное. Предположим, что атмосфера совсем не отражает инфракрасное излучение, однако поглощает часть $\varepsilon$ инфракрасного излучения и пропускает остальную часть. Такое поведение, известное как парниковый эффект, изменяет среднюю температуру Земли. Поверхность Земли отражает часть $r_{\mathrm{E}}$ видимого и ультрафиолетового излучения и поглощает остальную часть этого излучения и всё инфракрасное излучение.

B1  ^1.00 Предположим, что $\varepsilon=1$ и $r_E=0$. Найдите температуру Земли $T_E$ и температуру атмосферы $T_A$.

Теперь предположим, что $r_E \ne 0$. В этом случае система «Земля + атмосфера» отражает некоторую другую долю солнечного излучения, называемую «альбедо» и обозначаемую $\alpha$.

B2  ^1.60 Найдите альбедо $\alpha$ через $r_E$ и $r_A$. Рассчитайте его численное значение при $r_E = 0.102$ (и $r_A = 0.255$).

B3  ^1.00

• Выразите температуру Земли через $\sigma$, $\alpha$, $S_0$, и $\varepsilon$.
• Используя приведенные данные и рассчитанное альбедо, найдите численное значение $\varepsilon$, которое приводит к нынешней средней температуре Земли $T_E=288~К$.

B4  ^0.80 Найдите $\mathrm dT_E/\mathrm d \varepsilon$ и вычислите, на сколько увеличится температура Земли, если $\varepsilon$ увеличится на один процент.

Предположим, что $T_A=245~К$ и $T_E=288~К$. Эти значения получены из реальных данных и могут отличаться от результатов, которые вы получили в предыдущих пунктах. Теперь предположим, что имеет место нерадиационный (например, конвективный) тепловой поток $J_{NR}= k (T_E - T_A)$ от Земли к атмосфере, где $k$ — постоянная величина. Величина $J_{NR}$ — это передаваемая мощность с единицы площади.

B5  ^1.60 Выразите $\varepsilon$ и $k$ через $T_E$, $T_A$, $\sigma$, $\alpha$ и $S_0$.

B6  ^1.00

• Дифференцируя по $\varepsilon$ выражения, полученные в пункте B5, получите два уравнения, в которые входят $\mathrm dT_A/\mathrm d \varepsilon$ и $\mathrm dT_E/\mathrm d \varepsilon$.
• Используя эти уравнения, найдите численное значение изменения температуры Земли в результате увеличения значения $\varepsilon$ на один процент.