Большое число наблюдаемых звезд являются двойными. В двойной звезде одна или обе компоненты могут быть нейтронными звёздами, вращающимися с большой угловой скоростью и излучающими электромагнитные волны. Такие звёзды называются пульсарами. Иногда звезда-компаньон теряет своё вещество, которое в виде газа постепенно падает на нейтронную звезду и приводит к увеличению её массы (рис. 1-(a)). Таким образом, нейтронная звезда постепенно поглощает свою звезду-компаньона, из-за чего её сравнивают с черной вдовой — самкой паука, которая после спаривания съедает самца. В результате нагрева газа, падающего на «чёрную вдову», возникает наблюдаемое излучение. Самые тяжёлые нейтронные звезды зачастую оказываются «чёрными вдовами» и служат для учёных естественными лабораториями для проверки фундаментальных законов физики. На рисунке 1-(b) показано изображение компаньона нейтронной звезды PSR J2215+5135, полученное 3.4-метровым оптическим телескопом Иранской национальной обсерватории. На этом изображении нейтронная звезда не видна, а видимый свет излучается её компаньоном.

Часть A. Двойная система (5 баллов)

Рассмотрим простую модель, в которой «чёрная вдова» и её звезда-компаньон представлены двумя точечными массами $M_1$ и $M_2$, движущимися по круговой орбите вокруг общего центра масс. Чтобы исследовать динамику этой системы, перейдём во вращающуюся систему отсчёта, в которой оба тела неподвижны. Примем центр масс за начало координат. Предположим, что тела лежат на оси $x$ по разные стороны от начала координат на расстоянии $a$ друг от друга, и масса $M_1$ лежит на отрицательной полуоси. В произвольной точке $(x,y)$ в плоскости орбиты эффективный потенциал $varphi(x,y)$ единичной пробной массы равен сумме гравитационных потенциалов двух точечных масс и центробежного потенциала.

A1  ^1.00 Выразите $\varphi(x,y)$ через $M_1$, $M_2$, $G$ и $a$.

A2  ^0.70 Предполагая, что $M_1 > M_2$, постройте качественный график функции $\varphi(x,0)$.

Пусть $M_2 = M_1/3$ (только в пункте A3), и звезда $M_2$ окружена разреженным газом. Масса этого газа мала по сравнению с массами звёзд, поэтому его гравитационным влиянием можно пренебречь. Если газовое облако превысит некоторый критический размер, газ начнёт перетекать на $M_1$. Предположим, что перетекание начинается в точке $x=x_0$ на оси $x$.

A3  ^0.50 С помощью калькулятора вычислите значение $x_0/a$ с точностью до двух значащих цифр.

Пусть период вращения звезд вокруг центра масс равен$P$, а газ течёт от $M_2$ к $M_1$ с очень малой скоростью $\mathrm dM_1/\mathrm dt= \beta$. Скорость перетекания настолько мала, что в течение одного периода вращения расстояние между звёздами можно считать постоянным. При этом на бóльших масштабах времени расстояние между компонентами меняется, но движение компонент остается круговым.

A4  ^0.60 Выразите скорость изменения величин $a$ и $P$ через $\beta$, $M_1$, $M_2$, $G$, и $a$.

Газ, отделяющийся от $M_2$, образует диск, вращающийся вокруг $M_1$, в котором газ нагревается за счет трения (рис. 1-(a)). Теряя энергию, газ по спирали медленно перемещается к центру диска и, наконец, падает на $M_1$. В равновесном состоянии масса перемещается с постоянной скоростью $\beta$ от $M_2$ к диску и от диска к $M_1$. При этом нагретый диск испускает тепловое излучение как абсолютно чёрное тело. Поскольку диск формируется очень близко к нейтронной звезде, гравитационным влиянием $M_2$ при рассмотрении диска можно пренебречь. Пренебрегите также теплоёмкостью газа.

A5  ^1.00 Определите температуру диска на расстоянии $r$ от центра звезды $M_1$. Выразите ответ через $r$, $\beta$, $M_1$, $G$ и $\sigma$ (постоянная Стефана–Больцмана).

В бинарной системе PSR J2215+5135 масса нейтронной звезды составляет $M_\mathrm{NS} = 2 . 27 M_\odot$, а масса звезды-компаньона – $M_\mathrm S = 0 . 33 M_\odot$, где $M_\odot = 1.98\cdot10^{30}~кг$ – масса Солнца. Период вращения составляет $P = 4 . 14~ ч$, постоянная Стефана–Больцмана $\sigma= 5 . 67 \cdot 10^{ - 8}~ Вт/ м^ 2 \cdot К ^4$, а гравитационная постоянная $G= 6 . 67 \cdot 10 ^{- 11}~ м^ 3 /кг \cdot с ^2 $. Предположим, что скорость потока массы к нейтронной звезде составляет $\beta = \dot M_\mathrm{ NS }= 9 \cdot 10 ^{- 10}~ M_\odot / год$.

A6  ^0.50 Вычислите температуру диска на расстоянии $r=a/10$. Ответ приведите в кельвинах.

Предположим, что после внезапного взрыва звезда $M_1$ выбрасывает часть своей массы из двойной системы с очень большой скоростью, и её масса становится равной $M'_1$. Пусть после взрыва относительная скорость движения $M'_1$ и $M_2$ равна $v'$.

A7  ^0.70 При каком максимальном значении $v'$ двойная система останется гравитационно связанной после взрыва? Какому минимальному значению $M'_1$ это соответствует, если разлёт вещества после взрыва происходил изотропно? Выразите ответы через $M'_1$, $M_2$, $G$ и $a$.

Часть B. Анализ устойчивости звезды (5 баллов)

В этой части мы исследуем устойчивость одиночной звезды. Рассмотрим звезду, состоящую из вещества с уравнением состояния $p=K\rho^\gamma$ где $K$ и $\gamma$ – некоторые постоянные. Обозначим давление и плотность на расстоянии

B1  ^0.20 Выразите ускорение свободного падения $g(r)$ на малом расстоянии от центра звезды через $r$ и постоянные $G$ и $\rho_c$.

B2  ^0.60 Выведите дифференциальное уравнение, описывающее равновесное распределение $\rho(r)$. Запишите его в следующей форме:\[\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left[h_1(\rho,r)\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr}\right]+h_2(r)\rho=0.\]Найдите функции $h_1$ и $h_2$.

B3  ^0.40 С помощью метода размерностей получите выражение для величины $r_0=G^lp_c^m\rho_c^n$ с размерностью длины.

B4  ^0.30 Перепишите дифференциальное уравнение, полученное в пункте B2, в следующем виде:\[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[A_1(u,x)\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\right]+A_2(x)u(x)=0,\] где $x=r/r_0$ и $u=\rho/\rho_c$. Найдите функции $A_1(u,x)$ и $A_2(x)$.

B5  ^0.60 При $\gamma=2$ это уравнение можно решить точно, если ввести $u(x)=f(x)/x$. Найдите $f(x)$.

На рисунке 2 ниже приведён график зависимости $\mathrm du/\mathrm d x$ от $x$ для некоторой звезды.

B6  ^0.80 Рассматривая график в окрестности точки $x=0$, вычислите $\gamma$ с точностью до 3 значащих цифр. Для снятия данных с графика вы можете использовать выданную линейку.

Чтобы исследовать устойчивость звезды, предположим, что она немного отклоняется от своего равновесного состояния: сферическая оболочка, которая находилась в равновесии на расстоянии $r$ от центра, теперь имеет радиус $\tilde r$. Аналогично величины $g$, $p$, и $\rho$ становятся равны $\tilde g$, $\tilde p$, и $\tilde \rho$ соответственно. Для простоты будем рассматривать только малые $r$ вблизи центра звезды, для которых можно считать $\tilde r=r(1+\varepsilon t)$, где $\varepsilon t\ll1$.

B7  ^0.90 Выразите $\tilde \rho$ и $\tilde g$ через $\rho$ и $g$ с точностью до первого порядка по $\varepsilon$.

B8  ^0.60 Используя второй закон Ньютона для элемента вещества на равновесном расстоянии $r$, выразите $\mathrm d^2\tilde r/\mathrm dt^2$ через $\tilde g$, $\tilde \rho$, $K$, $\gamma$ и $\partial\tilde\rho/\partial\tilde r$. (Под $\partial\tilde\rho/\partial\tilde r$ подразумевается производную $\tilde\rho$ по $\tilde r$ при постоянном $t$.)

B9  ^0.60 Получите выражение для $\mathrm d^2\varepsilon/\mathrm dt^2$. Выразите ответ через $\varepsilon$ и константы, данные в условии задачи. Найдите минимальное значение $\gamma$, при котором равновесие звезды будет устойчиво, а также получите выражение для угловой частоты колебаний звезды.