В последние десятилетия удержание и охлаждение атомов и ионов стали увлекательной темой для физиков, а за работы в этой области было присуждено несколько Нобелевских премий. В первой части этого вопроса мы рассмотрим технику захвата ионов, известную как «ловушка Пауля». За эту работу Вольфганг Пауль и Ханс Дехмельт получили половину Нобелевской премии по физике 1989 года. Далее мы исследуем технику доплеровского охлаждения – одну из работ, упомянутых в пресс-релизе Нобелевской премии по физике 1997 года, присужденной Стивену Чу, Клоду Коэн-Таннуджи и Уильяму Дэниелу Филлипсу «за разработку методов охлаждения и удержания атомов с помощью лазерного излучения».
Известно, что с помощью электростатических полей невозможно создать устойчивое равновесие для заряженной частицы. Поэтому для создания точки стабильного равновесия для ионов требуются более сложные методы. Одной из таких методик является ловушка Пауля.
Рассмотрим равномерно заряженное кольцо с линейной плотностью положительного заряда $\lambda$ и радиусом $R$. Положительный точечный заряд $Q$ с массой $m$ помещен в центр кольца.
Для создания динамического равновесия мы применим переменные поля. Плотность заряда зависит от времени как $\lambda=\lambda_{0}+u \cos \Omega t$. Переменные $\lambda_{0}, u$, и $\Omega$ заданы. Эффектами излучения пренебрегайте. Уравнение движения для малых смещений от центра кольца вдоль оси $z$ будет иметь вид:\begin{equation*}\ddot{z}=\left(+k^{2}+a \Omega^{2} \cos \Omega t\right) z .\tag{1}\end{equation*}
Для получения приближенного решения уравнения $(1)$ сделайте следующие упрощающие предположения: $a \ll 1, \Omega \gg k$ и $a \Omega^{2} \gg k^{2}$. В таких предположениях решение уравнения разбивается на два слагаемых: $z(t)=p(t)+q(t)$, где $p(t)$ - медленно меняющаяся компонента и $q(t)$ - быстро осциллирующая компонента с малой амплитудой и со средним значением, равным нулю. Другими словами, $p(t)$ может быть принято за константу в течении нескольких колебаний $q(t)$.
Пусть $\lambda_0 = 8\cdot 10^{-9}~ \text{Кл}/\text{м}$ и $R = 10~ \text{см}$. Будем удерживать однократно ионизированный атом в раз более тяжелый, чем атом водорода.
Иногда возникает необходимость охладить попавший в ловушку атом или ион. Предположим, что захваченный атом с массой $m$ имеет два энергетических уровня с разностью энергий $E_{0}=\hbar \omega_{\mathrm{A}}$. Электроны на нижнем уровне могут поглотить фотон и перейти на более высокий уровень, но через время $\tau$ они вернутся на нижний уровень и испустят фотон с частотой, вероятнее всего лежащей в пределах $\left[\omega_{\mathrm{A}}-\Gamma, \omega_{\mathrm{A}}+\Gamma\right]$.
По тем же причинам, атом также может поглощать фотоны с угловой частотой лазерного излучения $\omega_{\mathrm{L}}$, находящейся в интервале $\left[\omega_{A}-\Gamma, \omega_{A}+\Gamma\right]$. Будем считать, что $\omega_{\mathrm{L}}$ немного меньше, чем $\omega_{\mathrm{A}}$. Для нашего устройства зависимость количества поглощенных фотонов в единицу времени в системе отсчета атома от частоты падающих фотонов приведена на рисунке 3. Поглощенный фотон затем переизлучается в случайном направлении. Чтобы упростить задачу, мы рассмотрим ее в одном измерении, то есть предположим, что атомы могут двигаться только в направлении $x$, а лазерный свет светит на них только слева и справа. В системе отсчета атомов свет имеет бо́льшую или меньшую частоту, обусловленную движением атомов. Поскольку скорость $v$ атомов очень мала, мы рассматриваем только члены порядка $v / c$ и игнорируем все члены более высокого порядка. Более того, выполняется условие $m \gg \hbar \omega_{\mathrm{A}} / c^{2}$, а значит скорость атома почти не меняется после поглощения фотона. Кроме того, изменение частоты из-за эффекта Доплера настолько мало по сравнению с $\omega_{\mathrm{A}}-\omega_{\mathrm{L}}$, что функция для $s$ на приведенном ниже графике может быть аппроксимирована линейной: $$ s(\omega)=s_{\mathrm{L}}+\alpha\left(\omega-\omega_{\mathrm{L}}\right) $$где $s$ – число поглощенных фотонов в единицу времени, $s_{\mathrm{L}}$ – значение $s$ для $\omega=\omega_{\mathrm{L}}$, и $\alpha$ – наклон графика в точке $\omega_{L}$. Частота переизлученного фотона почти равна частоте падающего фотона и в нашем приближении их можно положить равными. Фотон переизлучается равновероятно в положительном и отрицательном направлении оси $x$. Обратите внимание, что мы рассматриваем процесс в системе отсчета атома.
Мы хотим найти самую низкую температуру, которая может быть достигнута с помощью этого метода. Предположим, что скорость конкретного атома уменьшилась ровно до нуля, и в этот момент он поглощает фотон (падающий с любого из двух направлений), а затем переизлучает фотон с почти той же частотой случайным образом в любом из двух направлений. Предположим, что этот процесс происходит один раз в $\tau$ единиц времени.