Pho.rs: Ионная ловушка и охлаждение атомов

A1 ^1.50

Используя декартовы координаты $(x, y, z)$ , получите электрическое поле кольца в окрестности его центра с точностью до первого порядка по $x/R$, $y/R$, и $z/R$.
Найдите частоту малых колебаний заряженной частицы около центра кольца в направлениях, для которых существует устойчивое равновесие.

A2 ^0.40 Выразите $a$ и $k$ через известные параметры.

1 $d\,=\,\frac{Q u}{2\epsilon_{0}R^{2}m\Omega^{2}}$	0.20
2 $k=~\sqrt{\frac{Q\lambda_{0}}{2\epsilon_{0}\kappa^{2}m}}$	0.20

A3 ^1.80

Используя приведённые выше предположения, составьте уравнение для $q(t)$. Используйте $a$, $\Omega$ и $p$.
Найдите такое решение этого уравнения, чтобы оно удовлетворяло указанным выше свойствам.

1 Использовано три приближения.	3 × 0.30
2 Ответ: $\ddot{q}=p a\Omega^{2}\cos\Omega t$	0.10
3 $q=-p a\cos\Omega t$	0.80

A4 ^1.50

Усредните эффект быстро осциллирующей компоненты и получите эффективное уравнение на $p(t)$.
Найдите условие устойчивости равновесия.

1 Правильное приближение.	0.60
2 ${\ddot{p}}(t)={\Bigl(}k^{2}-{\frac{a^{2}\Omega^{2}}{2}}{\Bigr)}p$	0.60
3 $\Omega>\sqrt{2}\frac{k}{a}$	0.30

A5 ^0.40 Вычислите $k$. Оцените наименьшую частоту, необходимую для стабилизации движения этого иона, если $a=0.04$. Используйте числовые значения, приведенные в конце задачи.

1 $k=2\times10^{5}\ \mathrm{рад/с}$	0.20
2 $\Omega_{\mathrm{min}}\simeq7\times10^{6}\,\mathrm{rad/s}$	0.20
3 Неправильные порядки.	2 × -0.10

B1 ^0.50 Используя принцип неопределенности Гейзенберга, найдите $\Gamma$.

1 $\Gamma=\frac{1}{\tau}$ (С точностью до коэффициента)

0.50

B2 ^1.70

Атом в ловушке в лабораторной системе отсчета имеет скорость $v=v_{\mathrm{x}}$. В системе отсчета атома вычислите скорости поглощения фотонов, падающих с каждого из двух направлений, (обозначенные $s_{+}$ и $s_{-}$) и получаемый импульс в единицу времени в каждом направлении (обозначается $\pi_{+}$и $\pi_{-}$).
Определите эффективную силу, действующую на атом в лабораторной системе отсчёта, как функцию от $v, k_{\mathrm{L}}={\omega_{\mathrm{L}}} / c, \hbar$, и $\alpha$. Считайте, что $s_{\mathrm{L}} \ll \alpha \omega_{\mathrm{L}}$.

1 Правильно записаны эффекты Доплера.	2 × 0.30
2 $s_{+}=s_{\mathrm{L}}+\alpha\omega_{\mathrm{L}}{\frac{v}{c}}$ $s_{-}=s_{\mathrm{L}}-\alpha\omega_{\mathrm{L}}{\frac{v}{c}}$	2 × 0.20
3 $\pi_{+}=s_{+}\times(-\hbar k_{+})$ $\pi_{-}=s_{-}\times(+\hbar k_{-})$	2 × 0.10
4 $F=-(2\alpha\hbar k_{\mathrm{{L}}}^{2})v$	0.50

B3 ^1.00 Рассматривая импульс атома после такого процесса для двух возможных исходов, вычислите среднюю мощность, поглощаемую атомом в таких процессах.

1 $p_1 = + 2\hbar k_L $ $p_2 = 0$	0.50
2 Рассмотрен только один случай	-0.20
3 $P_{\mathrm{in}}={\frac{\hbar^{2}k_{\mathrm{L}}^{2}}{m\tau}}$	0.50

B4 ^0.80 Используя выражение для силы, найденное в пункте B2, вычислите мощность потерь. Затем вычислите среднее значение $v^2$ в равновесии. Используя знания из кинетической теории газов, определите температуру атомов.

1 $P_{\mathrm{out}}=-2\alpha\hbar k_{\mathrm{L}}^{2}v^{2}$ (с точностью до коэффициента)	0.30
2 $\overline{{{v^{2}}}}\,=\,\frac{\hbar\Gamma}{2\alpha m}$ (с точностью до коэффициента)	0.30
3 $T={\frac{\hbar\Gamma}{2\alpha k_{\mathrm{B}}}}$(с точностью до коэффициента)	0.20

B5 ^0.40 Оцените эту температуру для атома, который в 100 раз тяжелее атома
водорода. Числовые значения $\omega_L = 2\cdot 10^{16}~ {\text{рад}}/{с}$, $\tau = 5 \cdot 10^{-9}~ с$ и $\alpha = 4$.

1 $T = 2 \cdot 10^{-4} K$

0.40

Ионная ловушка и охлаждение атомов

Разбалловка