Рассмотрим натянутую резинку с жестко закрепленными концами. Сила натяжения резинки в этом положении – $T$, длина – $L$.
Резинку отклонили в перпендикулярном направлении (см. рисунок 1). Рассмотрим ее маленький участок, отстоящий от начального положения на величину $y$.
$$\ddot{y}=v^{2} y''.\tag{1}$$При каких условиях это можно сделать? Выразите коэффициент $v$ через параметры резинки и силу натяжения. (Частичный балл за этот пункт можно получить за вывод из соображений размерности).
$$y(x, t)=A(x) \cos (\omega t+\phi). \tag{2}$$Какой вид должна иметь функция $A(x)$, чтобы $y(x, t)$ удовлетворяла уравнению $(1)$? Какие из найденных вами решений описывают колебания резинки с жестко закрепленными на расстоянии $L$ краями?
Найденные вами типы решений, каждое из которых описывает колебания с частотой и фазой $\phi$, одинаковые для разных частей резинки, называют нормальными колебаниями. Можно показать, что в условиях, при которых колебания резинки описываются уравнением $(1)$, любое ее движение можно представить как сумму нормальных колебаний с некоторыми амплитудами, определяемыми только исходя из начальных условий (т.е. способа, которым были возбуждены колебания в исходно покоящейся резинке).
Если теперь оттянуть резинку в сторону, держа ее за середину, дальнейшее ее движение будет описываться суммой нормальных колебаний, в которой основной вклад будет вносить только одно из них, поэтому можно считать, что дальнейшее движение резинки является нормальным колебанием. Запишите (или зарисуйте) в решении, какое именно нормальное колебание является основным.
