Во всех пунктах данной задачи в ответе может фигурировать элементарный заряд $e=1.6\cdot 10^ {-19}~Кл$.

Одноэлектронный транзистор — электронный компонент, принцип работы которого основан на явлении кулоновской блокады, наблюдающемся при низких температурах (порядка нескольких кельвинов). В данной задаче мы исследуем этот эффект и объясним принцип действия одноэлектронного транзистора при нулевой температуре.

Примечание: «землёй» в электрической схеме называется точка, значение потенциала в которой принимается нулевым. Обозначение «земли» представлено на рисунке.

Часть A. Туннельный эффект (3.0 балла)

Основа явления кулоновской блокады — туннелирование, или туннельный эффект. Его суть заключается в том, что при определенных условиях система может преодолевать барьеры потенциальной энергии. Туннелирование возможно, если конечная энергия не превышает начальную, при этом избыток энергии выделяется в виде тепла.

Туннелирование представляет собой последовательное перемещение элементарых зарядов по одному с одной обкладки туннельного перехода на другую. В « классической » модели такой системы электроны перемещаются по резистору \(R_t\), соединенному параллельно конденсатору, на котором происходит диссипация энергии. Его сопротивление конечно, если туннелирование возможно. Иначе сопротивление бесконечно. 

Рассмотрим туннельный переход, отключенный от источника питания.

A1  ^0.10 Запишите выражение для энергии конденсатора емкости $C$ (в эквивалентной цепи туннельного перехода), если на обкладках заряд величиной $n$ зарядов электрона. Пусть теперь величина $n$ увеличилась на единицу. Чему равно изменение энергии конденсатора $\Delta W$?

В дальнейшем мы рассматриваем туннельные переходы, подключенные в электрическую цепь с другими элементами. На схемах туннельный переход обозначается как два соприкасающихся прямоугольника.

Одноэлектронная коробка

Одноэлектронная коробка (single-electron box) представляет собой систему из трех расположенных в ряд электродов. Центральный называют островом (island), а боковые — берегами. На острове заключено \( n \) — некоторое количество электронов, которое может изменяться при туннелировании. При этом, оно может быть как положительным, так и отрицательным (избыток/недостаток электронов на островке). Между островом и левым берегом — туннельный переход емкостью $C_j$, остров и правый берег образуют обычный конденсатор емкостью $C_g$. В таком случае правый берег называют затвором (gate). Между берегами создается постоянная разность потенциалов $V$. Соответствующая электрическая схема с указанием параметров входящих в нее компонентов изображена на рисунке.

« Классическая » модель задачи туннелирования, когда оно энергетически разрешено.

« Классическая » модель задачи туннелирования, когда оно энергетически запрещено.

A2  ^0.30 Получите выражения для зарядов на конденсаторе и туннельном переходе $q_g$ и $q_j$. Емкости конденсатора и туннельного перехода: $C_g$ и $C_j$ соответственно, Напряжение источника обозначим $V$, а число электронов на острове обозначим $n$.

A3  ^0.30 Получите выражение для изменения энергии системы, состоящей из конденсатора и туннельного перехода, при увеличении числа $n$ электронов на острове на единицу. Ответ выразите через $n, C_g, C = C_j + C_g$.

A4  ^0.50 Получите выражения работы работы источника \(A\) и для тепловых потерь $Q$ в цепи при туннелировании одного электрона на остров (увеличении на единицу числа $n$ электронов на острове). Ответ выразите через $n, C_g, C, V$.

В дальнейшем будем понимать, что туннелирование разрешено, когда количество тепла \(Q\), выделяющееся в цепи, больше нуля.

A5  ^0.50 Считая, что тепло $Q$ выделяется в ходе протекания тока через тунельное сопротивление $R_t$, получите выражение для тока $I_t$ через туннельное сопротивление $R_t$ при туннелировании одного электрона на остров, а также укажите, при каком ограничении на $n$ он корректен — то есть туннелирование энергетически выгодно. Выразите ответы через $n, C_g, C, V, R_t$.

A6  ^0.30 Считая, что туннелирование энергетически выгодно, выразите ток $I$, текущий через источник, через туннельный ток $I_t$. За положительное примите направление токов к отрицательному полюсу источника. Кроме токов в ответе могут быть величины $C_g, C, V$. Рассмотрите процессы, соответствующие и увеличению, и уменьшению количества электронов на острове.

A7  ^1.00 В одних координатных осях постройте графики зависимости $I(V)$ для $n = 0$ и $n=1$. Изобразите зависимость в достаточно широком диапазоне напряжений, отражающем все особенности зависимостей.

Часть B. Одноэлектронный транзистор (4.5 балла)

Одноэлектронный транзистор представляет собой систему из острова, двух берегов, соединенных с ним туннельными переходами, и затвора, образующего вместе с островом конденсатор. У затвора только емкостная связь — сопротивление бесконечно. На левый берег подается напряжение \(V_1 = V/2\), на затвор подается напряжение \(V_2 =- V/2\). Схема транзистора и эквивалентной цепи с указанием параметров электронных компонентов приведена на рисунке.

B1  ^0.20 Пусть на острове $n$ электронов. Выразите потенциал $\varphi$ острова через $n, V, V_g, C_1, C_2, C_g$.

B2  ^1.00 Получите выражение для суммарной работы источников при туннелировании одного электрона на остров с левого (первого) берега. Ответ выразите через через $V, V_g, C_1, C_2, C_g$.

B3  ^1.00 Пусть на острове $n$ электронов. Выразите суммарное количество теплоты, выделившееся в цепи при туннелировании одного электрона на остров с левого (первого) берега. Ответ выразите через через $n,V, V_g, C_1, C_2, C_g$.

B4  ^0.30 Из условия положительности выделяющегося в цепи тепла получите условие на $V$ (неравенство), при котором электрон сможет туннелировать с левого берега на остров.

Выразите ответ через $n, V, V_g, C_g, C_2$.

B5  ^1.50 Получите аналогичные пункту B4 условия на $V$ для туннелирования на остров через правый переход, а также для туннелирования с острова через оба перехода. Постройте диаграмму в координатах \(V, \ V_g\), на которой для каждой области укажите количество $n$ электронов, которое может находиться на острове по прошествии достаточно большого количества времени. 

Обратим внимание на области на \( (V, \ V_g) \) диаграмме, в которых спустя длительное время энергетически выгодна лишь пара переходов: $n\rightarrow n+1$ через один переход и $n+1 \rightarrow n$ через другой. В таком случае происходит постоянное протекание тока через остров с одного берега на другой. Определим его величину.

Поскольку после пары туннелирований заряд на острове остается прежним, не изменяются и заряды на конденсаторах, а значит протекающий ток определяется суммой времен туннелирования через первый и второй переходы.

B6  ^0.50 Пусть туннельные переходы одинаковые: емкость каждого из них $C_1$, а туннельное сопротивление – $R_t$. Рассмотрим пары напряжений \((V_g, V)\), для которых спустя достаточно длительное время возможны только состояния с $n=0$ и $n=1$. Определите величину туннельного тока $I(V_g, V)$ в цепи. За положительное примите направление тока с левого берега на правый.

Часть C. Туннелирование при конечной температуре (2.5 балла)

C1  ^0.50 На графике представлена экспериментальная зависимость $V(V_g)$ при низкой температуре $T=10~мК$, полученная для фиксированных значений токов $I \approx ~1пА$. Основываясь на результатах, полученных в части B, определите величины емкостей $C_1=C_2$ и $C_g$.

Зафиксируем некоторую положительную температуру $T$. Пусть $\Gamma_{n\rightarrow n\pm1}^{(i)}$ — вероятность в единицу времени туннелирования с/на остров через i-й переход, а $p(n)$ — вероятность того, что на острове находится $n$ электронов.

Примечание: если вероятность в единицу времени у процесса равна $\Gamma$, то за время $dt$ он происходит с вероятностью $dp = \Gamma dt$.

C2  ^0.30 Пусть $\Gamma_{n\rightarrow n\pm1} = \Gamma_{n\rightarrow n\pm1}^{(1)} + \Gamma_{n\rightarrow n\pm1}^{(2)} $. Электрон может туннелировать как с/на один берег, так и с/на другой. Выразите производную по времени для вероятности пребывания на острове $n$ электронов $dp(n)/d t$ через вероятности $p(n), \ p(n\pm1)$ и $\Gamma_{n\rightarrow n\pm1}, \ \Gamma_{n\pm1\rightarrow n}$.

Будем исследовать стационарный режим протекания тока через транзистор (это значит, что все вероятности \(p(n)\) постоянны во времени). Также предполагаем, что существует такое $n_0$ — число электронов на острове, при достижении которого туннелирование прекращается: $p(n)=0$ и $\Gamma_{n-1\rightarrow n} = 0$ при $n>n_0$.

C3  ^0.50 Исходя из указанных предположений и установленного граничного условия получите соотношение, связывающее $p(n)$ и $p(n+1)$ в виде $p(n+1) = A \cdot p(n)$, где $A$ – выражение, содержащие только вероятности $\Gamma_{m\rightarrow m\pm 1}$ для различных $m$. 

Будем рассматривать низкие температуры $(kT\ll e^2/C)$ и $|V| \ll e/C, |V_g - e/2C_g| \ll e/C_g$.
С помощью квантовой механики можно получить общий вид для вероятности туннелирования в единицу времени с/на остров через $i$-й переход:
$$\Gamma_{n\rightarrow n\pm1}^{(i)}=\dfrac{1}{e^2R_t}\dfrac{Q^{(i)}_{\pm}(n)}{1- \exp{\left[-\frac{Q^{(i)}_{\pm}(n)}{kT}\right]}},$$где $Q^{(i)}_{\pm}(n)$ — выделяемое в процессе туннелирования количество теплоты.

С4  ^0.30 Используя выражение, полученное в пункте B3 и аналогичные ему, покажите, что $\Gamma_{n\rightarrow n+1}$ при $n>0$ и  $\Gamma_{n\rightarrow n-1}$ при $n<1$ экспоненциально быстро убывают при изменении $n$. Считайте, что $T\rightarrow 0$.

В дальнейшем все \(p(n)\) кроме \(p(0), \ p(1)\) будем считать нулевыми.

C5  ^0.50 Выразите вероятности $p(0)$ и $p(1)$ через вероятности $\Gamma_{0\rightarrow 1} \ \text{и} \ \Gamma_{1\rightarrow 0}$. Учтите, что \(p(0) + p(1) = 1\).

C6  ^0.40 Запишите выражение для тока через транзистор. Ответ выразите через $\Gamma_{0\rightarrow 1}^{(i)}, \Gamma_{1\rightarrow 0}^{(i)}$.

Подстановка выражений для теплоты в формулу для вероятностей $\Gamma_{n\rightarrow n\pm1}^{(i)}$ после продолжительных выкладок позволяет получить выражение для зависимости тока от напряжений и температуры. Наличие этой заметной зависимости позволяет использовать одноэлектронный транзистор в качестве прибора для измерения низких температур, что рассматривалось в задаче на научном фестивале.