Твердый цилиндрический стержень радиусом $R$ закреплен горизонтально над землей. Грузик массой $m$ прикрепили невесомой нерастяжимой нитью длины $L$ ($L>2 \pi R$) к верхней точке стержня $A$, как показано на рисунке 1. Грузик подняли до уровня точки $A$ так, что нить расположилась горизонтально, и отпустили. Грузик, который можно считать материальной точкой, движется только в вертикальной плоскости, перпендикулярной оси стержня. Ускорение свободного падения – ${g}$. Примем точку $O$ за начало отсчета системы координат.

Пусть грузик находится в точке $P$, а нить направлена по касательной к поверхности стержня и касается ее в точке ${Q}$. Длину отрезка $Q P$ обозначим $s$. Касательный (тангенциальный) и нормальный (радиальный) единичные векторы обозначим $\hat t$ и $\hat r$ соответственно. Угол отклонения $\theta$ отрезка $O Q$ от вертикальной оси $x$ (совпадающей по направлению с $O A$) будем отсчитывать против часовой стрелки. При $\theta=0$ начальная длина $s=L$, гравитационную потенциальную энергию в этом положении примите равной нулю. Обозначим скорости изменения величин $\theta$ и $s$ при движении грузика $\mathrm d \theta /\mathrm d t$ и $\mathrm d s /\mathrm d t$ соответственно.

Если не оговорено иное, то все векторы скоростей и их величины рассматриваются в системе отсчета, связанной с неподвижной точкой $O$.

Часть A

В этой части задачи рассматривается движение грузика при постоянно натянутой нити. Выразите через введенные ранее величины (т. е. $s$, $\theta$, $\mathrm d s /\mathrm d t$, $\mathrm d \theta /\mathrm d t$, $R$, $L$, $g$, $\hat t$ и $\hat r$) следующее:

A1 Связь между величинами $\mathrm d\theta / \mathrm d t$ и $\mathrm d s /\mathrm d t$.

A S

A2 Скорость $\vec{v}_{Q}$ движения точки касания $Q$ относительно точки $O$.

A S

A3 Скорость грузика $\vec{v'}$ относительно движущейся точки $Q$ в момент, когда он находится в точке $P$.

A S

A4 Скорость грузика $\vec{v}$ относительно точки $O$ в момент, когда он находится в точке $P$.

A S

A5 Проекцию ускорения грузика на ось, задаваемую вектором $\hat t$, относительно точки $O$ в момент, когда он находится в точке $P$.

A S

A6 Потенциальную энергию грузика $U$ в момент, когда он находится в точке $P$.

A S

A7 Скорость грузика $v_{m}$ в нижней точке его траектории.

A S

Часть B

Отношение $L$ к $R$ имеет следующее значение:$$
\frac{L}{R}=\frac{9 \pi}{8}+\frac{2}{3} \operatorname{ctg} \frac{\pi}{16}=3.534+3.352=6.886 .$$

B1 Чему равна скорость грузика $v_{s}$ в момент, когда участок нити $Q P$ еще остается отрезком прямой и имеет минимальную длину? (Выразите ответ через $g$ и $R$.)

A S

B2 Чему равна скорость грузика $v_{H}$, когда он находится в высшей точке своей траектории с другой стороны стержня? (Выразите ответ через $g$ и $R$.)

A S

Часть C

На одном конце нити по-прежнему находится грузик массы $m$, а к другому концу нити, переброшенной через стержень, прикреплен более тяжелый груз массой $M$, как показано на рисунке 2. Груз $M$ также можно считать материальной точкой.

Первоначально грузик $m$ подняли до уровня точки $A$ так, что участок нити длиной $L$ расположился горизонтально. Грузик $m$ отпускают без начальной скорости, и система начинает двигаться в вертикальной плоскости, при этом грузы не сталкиваются. Считайте, что при скольжении нити по поверхности стержня сила трения пренебрежимо мала, однако после остановки благодаря силе трения покоя груз далее не движется.

C1 Будем считать, что груз $M$ действительно опускается на расстояние $D$ (причем $L-D\gg R$) и останавливается. Чтобы грузик $m$ сделал полный оборот вокруг стержня (до значения $\theta=2 \pi$) и при этом оба участка нити, не касающиеся стержня, оставались натянутыми, необходимо, чтобы отношение $\alpha=D / L$ превысило некоторое критическое значение $\alpha_{c}$. Пренебрегая малыми величинами порядка $R / L$ (и меньше), оцените величину $\alpha_{c}$ через отношение $M / m$.

A S