Предположим, что в течение всего времени пузырек остается сферическим, и его центр масс покоится относительно жидкости (см. рис). Считайте что давление, температура, и плотность всегда однородны в пузырьке при уменьшении его размеров. Жидкость, содержащая пузырек, предполагается изотропной, невязкой, несжимаемой и гораздо большей размеров пузырька. Эффектами гравитации и поверхностного натяжения пренебрегите, так что давления с обеих сторон границы жидкость–пузырек всегда равны.
Если радиус пузырька $R=R(t)$ изменяется с течением времени $t$, граница пузырек–жидкость будет двигаться с радиальной скоростью $\dot R\equiv \mathrm dR/\mathrm dt$.
Считайте, что внешнее давление $P_0$, действующее на внешнюю поверхность $r=r_0$ жидкости, постоянно. Пусть $P=P(R)$ представляет давление газа в пузырьке, когда его радиус равен $R$.
Работа $\mathrm dW$ должна быть равна соответствующему изменению полной кинетической энергии жидкости. Отсюда получается уравнение Бернулли:$$\frac 12\rho_0\,\mathrm d(R^m\dot R^2)=(P-P_0)R^n\,\mathrm dR.$$
В дальнейшем мы рассматриваем схлопывание пузырька. Плотность жидкости $\rho_0=1.0\cdot 10^3~кг/м^3$, температура $T_0=300~К$ и внешнее давление $P_0=1.01\cdot10^5~Па$. Положим, что $\rho_0$, $T_0$, и $P_0$ остаются постоянными в течение всего времени, и пузырек схлопывается адиабатически без перехода вещества через границу пузырек–жидкость.
Пузырек заполнен идеальным газом. Отношение удельной теплоемкости при
постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме равно $\gamma=5/3$. Температура газа равна $T_0$, его давление – $P_0$, равновесный радиус пузырька $R_0=5.00~мкм$.
Пусть теперь этот пузырек начинает схлопываться, и в момент времени $t=0$ его радиус равен $R(0)=R_i=7R_0$, $\dot R(0)=0$, а температура газа $T_i=T_0$.
Введём для удобства величину $\beta\equiv R/R_i$. Тогда закон сохранения энергии принимает форму:$$\frac12\rho_0\dot \beta^2+U(\beta)=0.$$Пусть $P_i\equiv P(R_i)$ обозначает давление газа в пузырьке при $R=R_i$. Если мы введем отношение $Q\equiv P_i/[(\gamma-1)P_0]$, тогда функция $U(B)$ может быть записана как $$U(\beta)=\mu\beta^{-5}[Q(1-\beta^2)-\beta^2(1-\beta^3)].$$
Пусть $R_\mathrm m$ обозначает минимальный радиусом пузырька в процессе его схлопывания, а $\beta_\mathrm m\equiv R_\mathrm m/R_i$. При $Q\ll1$ имеем $\beta_\mathrm m\approx C_\mathrm m\sqrt Q$.
Положим $R_i=7R_0$. Пусть $\beta_\mathrm u$ обозначает величину $\beta$, при которой безразмерная радиальная скорость $u\equiv |\dot\beta|$ достигает своей максимальной величины. Температура газа резко возрастает для величин $\beta$, близких к $\beta_\mathrm u$.