Pho.rs: Спектроскопия Фабри–Перо (интерференционная)

Условие

А. Кольца на большом удалении

В. Дисперсия решетки

С. Дисперсия эталона Фабри--Перо

Часть А. Кольца на большом удалении

Рассмотрим интерференционную установку, образованную двумя параллельными стеклянными пластинами с воздушным зазором $e$, противолежащие стороны которых $P$ и $Q$ имеют более высокий коэффициент отражения (интерферометр Фабри–Перо). Отражение луча света на каждой из этих поверхностей сопровождается появлением фазового сдвига, который принимается равным нулю для всего излучения. Будем считать, что в установке не происходит отражения света от других поверхностей, кроме $P$ и $Q$. Показатель преломления воздуха принимается равным единице. Линза $L$ с фокусным расстоянием $f$, оптическая ось которой перпендикулярна поверхностям $P$ и $Q$, расположена позади эталона (Рис. 1). Мы хотим изучить интерференционные кольца на большом расстоянии в результате прохождения света через интерферометр Фабри–Перо.

Рис. 1

A1 Вспомним, в какой плоскости следует наблюдать кольца без потери контрастности, если используется протяженный источник.

A2 Рассчитайте длины волн излучения $\lambda_К$, для которых центр системы колец имеет максимум интенсивности при использовании порядка интерференции $K$.

A3 Интерферометр освещается излучением с длиной волны $\lambda$ чуть меньшей предыдущего значения $\lambda_К$. Рассчитайте угловой радиус $\alpha_{К}(\lambda)$ ярких колец, соответствующих порядку интерференции $K$, в зависимости только от $\lambda_{К}$ и $\lambda$. (По предположению, разность $\lambda_{К}-\lambda$ такова, что угол $\alpha_{К}(\lambda)$ можно считать малым.)

Часть В. Дисперсия решетки

Рассмотрим спектрограф с дифракционной решеткой, образованный бесконечно узкой входной щелью $E$ и решеткой пропускания $T$ с шириной (нормальной к штрихам) $L=5~см$, имеющей $1000$ штрихов на $1~мм$. Коллиматор $C$ и объектив $\Omega$ имеют одинаковое фокусное расстояние $F=3~м$. Оптическая ось коллиматора нормальна к поверхности решетки, и оптическая ось объектива параллельна дифрагированным лучам в первом порядке дифракции для длины волны $\lambda_0=5000~\overset{\circ}{\mathrm{A}}$ (Рис. 1).

Каждое изображение щели, образованное спектрографом в случае монохроматического излучения, регистрируется на фотопластинке $A$, перпендикулярной оптической оси объектива. Точки на этой пластинке рассматриваются относительно прямоугольной системы координат с осями $O x$ и $O y$. Различные монохроматические изображения щели образуются на оси $O x$; $O$ – точка пересечения оптической оси объектива с пластинкой.

B1 Каков промежуток, разделяющий на пластинке изображения щели, соответствующие длинам волн $\lambda_{1}=4500$ и $\lambda_{2}=5500~\overset{\circ}{\mathrm{A}}$ в первом порядке дифракции?

B2 Рассчитайте значения линейной дисперсии $D=\mathrm d x/\mathrm d \lambda$ (в $мм/\overset{\circ}{\mathrm{A}}$) для длин волн $\lambda_{0}, \lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ в первом порядке дифракции.

B3 Рассчитайте разрешающую силу решетки при использовании ее в первом порядке дифракции.

Часть С. Дисперсия эталона Фабри–Перо

Входная щель описанного выше спектрографа помещается вдоль диаметра системы колец интерферометра, середина щели совпадает с центром системы колец (Рис. 2). Будем считать, что решетка всегда обеспечивает первый порядок дифракции, и ограничимся излучением с длинами волн между $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$, так что дисперсию можно рассматривать как линейную и равную величине $D$, рассчитанной в части В2 для длины волны $\lambda_{0}$.

Рис. 2

C1 Интерферометр освещается светом с длиной волны $\lambda$. Покажите, что на пластинке видны точки максимальной освещенности. Найдите координаты этих точек в системе $xOy$, которая определена выше.

C2 На интерферометр падают две монохроматические волны с длинами $\lambda$ и $\lambda+\mathrm d \lambda$, которые очень близки друг к другу. Найдите разность $\mathrm d y$ ординат двух максимумов, соответствующих одному и тому же порядку интерференции $K$. Выведите закон изменения значения $D'=\mathrm dy/\mathrm d \lambda$ дисперсии интерферометра.

Что произойдет с $D'$, если длина волны $\lambda$ будет стремиться к значению $\lambda_{К}$?

C3 Интерферометр освещается белым светом. Покажите, что ряд максимумов появляется на фотопластинке в виде линий, и запишите уравнение этих линий в системе координат $x O y$. Опишите природу этих кривых.

Найдите расстояние, которое отделяет точки пересечения двух последующих кривых с осью $Ox$ вблизи $\lambda=\lambda_{0}$ для $e=2~мм$.

C4 Покажите, что разность ординат $y_{2}-y_{1}$ двух точек $M_{2}$ и $M_{1}$ с максимумами, соответствующими порядкам интерференции $K$ и $K-1$ для длины волны $\lambda$, может быть выражена в виде $$\Delta y=y_{2}-y_{1}=\frac{1}{y} \varphi(\lambda, f, e),$$ где $y$ – ордината, лежащая между $y_{2}$ и $y_{1}$. Считая, что разность $\Delta y$ мала, выведите выражение для разности ординат $\delta y$ двух точек, близких к точке $M_{1}$ на пластинке, для которых освещенность равна половине максимальной освещенности; при этом коэффициенты отражения $P$ и $Q$ предполагаются такими, что эффективное число интерферирующих лучей $N$ равно $30$.

Какова разрешающая сила $R'$ этой установки для длин волн вблизи $\lambda_{0}$? Сравните ее с разрешающей силой спектрографа с решеткой. Укажите, почему необходимо использовать спектрограф в сочетании с интерферометром Фабри–Перо.