Двухпроводная линия – это система из двух близко расположенных проводников, используемая для передачи электрических сигналов. По двухпроводной линии могут распространяться бегущие волны тока и напряжения. Двухпроводная линия в расчёте на единицу длины обладает ёмкостью $\mathcal C$ и индуктивностью $\mathcal L$. Характеристикой двухпроводной линии является волновое сопротивление $Z$:\[Z=\sqrt{\dfrac{\mathcal L}{\mathcal C}},\]скорость распространения волны в линии:\[v=\dfrac{1}{\sqrt{\mathcal L\mathcal C}}.\]Наиболее часто встречающаяся реализация двухпроводной линии – коаксиальный кабель, с помощью которого осуществляется подключение большого количества электронных приборов (например, генераторов и осциллографов). Строение коаксиального кабеля показано на рисунке ниже.
Другой часто встречающийся пример реализации двухпроводной линии – витая пара, на основе которой базируется большинство современных физических сетей связи (в частности, всемирная сеть Интернет). Строение витой пары показано на рисунке ниже:
Эта задача посвящена исследованию двухпроводных линий. В частях A и B исследуется стандартный коаксиальный кабель, в части C – витая пара.
Рассмотрим коаксиальный кабель, расположенный вдоль оси $Ox$. Рассмотрим сечение $x = \mbox{const}.$ Обозначим за $U(x, t)$ напряжение между внутренним и внешним проводом в точке с координатой $x$ в момент времени $t$. Через рассматриваемое сечение по внешнему проводу протекает ток $I(x, t)$, по внутреннему течёт тот же ток в противоположном направлении.
Самый простой способ исследовать коаксиальный кабель – возбудить в нём две волны напряжения, распространяющихся в противоположных направлениях. Для этого к кабелю через резистор сопротивлением $R$ подключен источник переменного напряжения $\mathcal{E}(t)$ (см. рис). Размером соединительных проводов по сравнению с длиной волны напряжения в кабеле можно пренебречь. Обозначим $U_l(x, t)$ – распределение напряжения в волне, распространяющейся в положительном направлении оси $Ox$, $U_r(x, t)$ – то же для волны, распространяющейся в противоположном направлении. Токи в каждой из волн связаны с напряжениями через так называемое волновое сопротивление $Z$:
$$I_l(x, t) = -\frac{U_l(x,t)}{Z} ,\qquad I_r(x, t) = \frac{U_r(x, t)}{Z}$$
Тогда
$$U(x, t) = U_l(x, t) + U_r(x, t), \\ I(x, t) = I_l(x, t) + I_r(x, t).$$ Начало кабеля расположено в точке $x = 0$.
Пусть теперь коаксиальный кабель имеет длину $L$ и на конце подключен с осциллографу с очень большим внутренним сопротивлением. На резистор подают ступенчатое напряжение:\[\mathcal{E}(t)=\begin{cases}0,& t < 0\\U_0,& t \ge 0\end{cases}\]Из-за того, что волна за конечное время пробегает путь от резистора до осциллографа и обратно, напряжение на кабеле (которое детектирует осциллограф) начинает ступенчато расти, постепенно выходя на плато.
Напряжение $U(x,t)$ является решением волнового уравнения
\[ \frac{\partial^2 }{\partial x^2} U(x,t) - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} U(x,t) = 0,\]что и позволяет представить $U(x,t)$ как сумму двух бегущих влево и вправо волн. При этом скорость распространения волн по кабелю равна $v$.
Примечание: если у вас не получилось выполнить пункты A1 и A2, воспользуйтесь следующим выражением:\[U(t)=U_0\left[1-\left(\dfrac{R-Z}{R+Z}\right)^{\left\lfloor\frac{Vt}{2L}-\frac{1}{2}\right\rfloor}\right].\]
Соберите установку, показанную на рисунке:
В силу неидеальности автора задачи, участки кабеля не идеально совпадают по длине, поэтому для анализа нужно использовать все имеющиеся точки. Пусть поданное с генератора напряжение равно $U_0$, тогда снятые значения $U_n$ можно обезразмерить, введя для $m$ участков кабеля величину $u(n,m)=U_n/U_0$. Аналогично для $m$ участков кабеля введём время $t(n,m)=t_n$.
Если подать на участок кабеля переменное напряжение низкой частоты (т.е. при котором длина волны много больше длины участка кабеля), он будет вести себя как последовательно подключенные конденсатор и катушка. Поскольку при малых частотах импедансом катушки можно пренебречь, можно с хорошей точностью измерить ёмкость кабеля на единицу длины.
Чтобы найти волновое сопротивление выданной вам витой пары, можно собрать ту же схему, как в первой части (см. п. A3).