Рассмотрим установку, представленную на Рис. 1.

Она состоит из центрально–симметричной системы двух линз $L_{1}$ и $L_{2}$ с одинаковыми фокусными расстояниями $f$. Изображение светящегося объекта, помещенного в фокальной плоскости $\pi_{1}$ линзы $L_{1}$, образуется в фокальной плоскости $\pi_{2}$ линзы $L_{2}$.

Источник излучает монохроматическое излучение с длиной волны $\lambda$. Между линзами $L_{1}$ и $L_{2}$ помещается прямоугольная щель шириной $a$ и высотой $b$ $(b \gg a)$. Центр щели совпадает с оптической осью системы. Координаты точки в плоскости зрачка обозначаются через $x$ и $y$.

Часть А

А1 Рассмотрите последовательно случаи с различными типами объекта:

1. Безразмерная точка, помещенная в фокусе линзы $L_{1}$;
2. Малый бесконечно тонкий отрезок линии, проходящий через $F_{1}$ и параллельный краям дифракционной щели.

В обоих случаях кратко опишите изображение. Найдите распределение освещенности в плоскости $\pi_{2}$, каждая точка которой описывается координатами $\xi$ и $\eta$. Дайте графический вид этого распределения вдоль оси $F_{2} \xi$. (Используйте освещенность как ординату и вдоль абсциссы отложите $u=(\sin i) / \lambda$, где $i$ – угол, который дифрагирующий луч образует с нормалью к плоскости зрачка).

А2

Теперь объект представляет собой набор из пяти светящихся линий, параллельных друг другу и дифракционной щели. Эти линии отстоят друг от друга на одинаковых расстояниях (период $d$), размер объекта считается очень большим.

Каково минимальное значение $d$, для которого изображение имеет периодическую структуру:

1. Если излучение объекта совершенно некогерентно? Вспомните, что$$1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\ldots=\frac{\pi^{2}}{8}$$
2. Если освещение когерентно?

Численный пример

$a=5~мм$, $f=1~м$, $\lambda=0.5~мкм$ 

Вопрос A2.2 трудно решить, если не использовать преобразование Фурье.

Часть В

Точечный источник вновь помещается в точке $F_{1}$, а в плоскости $xOy$ последовательно помещаются различные решетки с периодом $p$.

В1

Решетка состоит из бесконечно тонких прямых штрихов, параллельных $Oy$ и разделенных непрозрачными интервалами шириной $p$.

1. Найдите распределение освещенности в плоскости $\pi_{2}$.
2. Представьте графически распределение света в зависимости от $u=(\sin i) / \lambda$. Рассмотрите случаи, когда дифракционная решетка имеет бесконечную ширину и затем конечную ширину $L$.

В2 Штрихи решетки параллельны $Oy$, но теперь прозрачные и непрозрачные интервалы имеют одинаковую ширину $p/2$. Ответьте на прежние вопросы.

В3 Рассмотрите синусоидальную решетку. Амплитуда света, проходящего в точке $P(x, y)$ зрачка, имеет вид  $$ f(x)=\cos \frac{2 \pi x}{p}.$$Пропускание постоянно вдоль линий, параллельных $O y$. Как и в прежних вопросах, определите распределение освещенности и изобразите его графически.

Численный пример

$p=2~мкм$, $\lambda=0.5~мкм$, $L=\infty$, затем $L=10~см$.