Рассмотрим объектив $O$, ограниченный круглым контуром радиусом $r_{0}=3~см$.

Этот объектив, который считается идеальным, освещается точечным источником, расположенным на бесконечности на оси объектива $O$.

Источник является монохроматическим, он излучает свет с длиной волны $\lambda=6~мкм$. 

Пусть $\alpha_{0}$ будет максимальной апертурой объектива (рис. 1). Будем считать $\alpha_{0}$ малой величиной.

A Открытый зрачок

A1.1 Напишите выражение для амплитудного распределения света и для распределения интенсивности в плоскости $П$. Охарактеризуйте точку $M$ в плоскости $П$ ее расстоянием $\rho$ от точки $C$, геометрического изображения источника. Для упрощения примите $Z=(2 \pi / \lambda) \alpha_{0} \rho$. Какова освещенность в центре $C$ дифракционной картины?

A1.2 Найдите угловой радиус $\theta$ первого темного кольца на дифракционной картине ($\theta$ – угол, под которым радиус первого темного кольца виден из оптического центра $O$ линзы).

B Непрозрачный диск

B1.1 Найдите распределение амплитуды и интенсивности в плоскости $П$. Определите величину радиуса $r_{1}$ диска $D$, при котором уменьшение интенсивности не превышает $10\%$ интенсивности, определенной в вопросе A.

B1.2 Определите угловой радиус первого темного кольца в случае, когда $\alpha_{0}=2 \alpha_{1}$.

B1.3 Графически сравните природу двух дифракционных пятен:

1. без экрана $D$,
2. с экраном $D$.

Оптические системы, содержащие в центре экран, встречаются в некоторых телескопах. Что происходит в этих случаях с разрешением компонент двойных звезд? Считайте, что компоненты звезд имеют одинаковую интенсивность.

C1 Кольцеобразный зрачок

Теперь будем считать, что экран $D$ почти полностью закрывает объектив $O$ таким образом, что свет проходит только через бесконечно узкое кольцо. Какой будет структура дифракционной картины в плоскости $П$? Каким будет угловой радиус центрального дифракционного пятна?

D1 Хаотическое расположение идентичных экранов

Заменим экран $D$ тысячью маленьких непрозрачных экранов, хаотически распределенных в плоскости перед объективом $O$. Каждому экрану противолежит очень малый угол с вершиной в $C$, равный $\alpha_{2}$ и такой, что $\alpha_{2} / \alpha_{0}=10^{-2}$. Определите освещенность в плоскости $П$ на расстоянии, равном величине $30/1.22$, умноженной на радиус дифракционного пятна, образованного свободным объективом (в отсутствие маленьких экранов). Первоначально покажите, что условия таковы, что позволяют использовать теорему Бабине. В последней части этой задачи освещенность, создаваемая открытым зрачком в $C$, принимается равной единице.

E1

Аподизация

 

Теперь объектив используется с полной апертурой (экраны удалены), и перед ним помещается стеклянная пластинка $L$ с параллельными гранями (рис. 3). На одной стороне пластинки $L$ нанесена тонкая пленка с неравномерным поглощением, которая не вызывает фазового сдвига. Поглощающая пленка наносится таким образом, чтобы поглощение было одинаковым для всех точек, расположенных на окружности, центр которой находится в $O'$ на пересечении оптической оси объектива с пластинкой. Зависимость изменения амплитуды от $\propto$ описывается выражением $e^{-\alpha a^{2}}$, где $a$ – коэффициент, который соответствует максимальному поглощению.

Определите изменение освещенности в центре дифракционной картины.

Численный пример: 

$\alpha_{0}=1/5$ и $a=1$. Можно ли получить дифракционную картину, если поглощение на краю становится очень большим ($\alpha \gg 1$)?

Рис. 2

F1 Фокусирующие дефекты

Пластинка, используемая в предыдущем вопросе, заменяется теперь совершенно прозрачной пластинкой, которая имеет равномерно изменяющуюся толщину. Изменение толщины, как и в вопросе E1, обладает цилиндрической симметрией относительно оптической оси объектива. Изменение толщины пластинки обусловливает изменение фазы (из-за разности хода), зависимость которой от $\alpha$ имеет вид $\varepsilon \alpha^{2}/2$, где $\varepsilon$ – коэффициент, который соответствует максимальной разности хода. Определите освещенность в точке $C$. Исследуйте изменение освещенности в центре дифракционной картины в зависимости от разности фаз $\Phi=\pi \varepsilon \alpha_{0}^{2} / \lambda$ ($\lambda$ – длина волны используемого света). Начертите кривую для значений $\Phi$ от $0$ до $4\pi$.

Покажите, что в случае удаления пластинки $L$ и медленного смещения фокальной плоскости параллельно самой себе до некоторой точки изменение освещенности в центре дифракционной картины характеризуется этой же кривой.

Примечание

Для решения этой задачи не обязательно знать свойства функции Бесселя. Требуется всего лишь несколько полезных результатов: $$\begin{gathered} \int_{0}^{2 \pi} e^{-j K \alpha \rho \cos \theta} d \theta=2 \pi J_{0}\left(K \alpha \rho \right), \\ \int_{0}^{z} J_{0}(z) z d z=Z \cdot J_{1}\left(Z\right). \end{gathered} $$ 

Таблица численных значений

$$J_{0}(Z)=0 \quad для \quad Z=2.405,~~5.52,~~8.65 \ldots $$ $$\frac{J_1(Z)}{Z}=0 \quad для \quad Z=3.83,~~7.02,~~10.17 \ldots $$