A1 Квантовомеханическое выражение для дисперсии показателя преломления вещества как функции частоты $\nu$ вдали от области поглощения записывается в виде $$n^{2}=1+\frac{2 N}{3 h \varepsilon_{0}} \sum_{i} \frac{\nu_{i} d_{i}^{2}}{\nu_{i}^{2}-\nu^{2}}, \tag{1}$$ где $h$ – постоянная Планка, $\varepsilon_{0}$ – электрическая постоянная, $d_{i}$ - дипольный момент перехода с частотой $\nu_{i}$, а $N$ – число молекул в единице объема. Принимая, что моменты $d_{i}$ создаются гармоническими осцилляторами с зарядами $q_{i}$, массами $m_{i}$ и энергиями $W=h \nu_{i}$, покажите, что уравнение $(1)$ эквивалентно классическому выражению $$n^{2}=1+\frac{1}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0}} \sum_{i} \frac{N_{i} f_{i} q_{i}^{2}}{m_{i}\left(\nu_{i}^{2}-\nu^{2}\right)} \tag{2}$$ В этом выражении каждый осциллятор имеет только одну собственную частоту и осцилляторов столько, сколько собственных частот. $f_{i}$ – численный коэффициент, называемый силой осциллятора. Найдите выражение для $f_{i}$ в случае, когда рассматривается только единственный переход. Тогда окажется, что $f_{i}$ имеет порядок единицы и можно считать, что $f_{i}=1$.

B1 Дисперсия показателя преломления водорода при нормальных условиях (температуре и давлении) в интервале от $0.4$ до $9~мкм$ может быть представлена в виде $$n^{2}=1+2.721 \cdot 10^{-4}+\frac{2.11}{\lambda^{2}} \cdot 10^{-18} \quad(\lambda ~в ~м) \tag{3}$$ Чтобы связать это выражение с теоретическим $(2)$, запишем его следующим образом: $$n^{2}=1+A\left(1+\frac{B}{\lambda^{2}}\right) \tag{4}$$ Найдите значения $A$ и $B$ и убедитесь, что собственная частота осциллятора лежит в ультрафиолетовой области. Найдите отношение $q/m$. К какой частице применимо полученное значение? Плотность водорода $\mu=9.0 \cdot 10^{-2}~кг\cdot м^{-3}$, число Фарадея $N_A е=9.65 \cdot 10^{7}~Кл$, где $N_A$ – число молекул в одном киломоле и $e$ элементарный заряд.

C1 В интервале между $0.3$ и $10~мкм$ показатель преломления $\mathrm{CaF}_{2}$ определяется формулой $$n^{2}=6.09+\frac{6.12 \cdot 10^{-15}}{\lambda^{2}-8.88 \cdot 10^{-15}}+\frac{5.10 \cdot 10^{-9}}{\lambda^{2}-1.26 \cdot 10^{-9}} \quad(\lambda~в ~м) \tag{5}$$ Запишите уравнение $(2)$ в виде $$n^{2}=A+\frac{C_{1} \lambda_{1}^{4}}{\lambda^{2}-\lambda_{1}^{2}}+\frac{C_{2} \lambda_{2}^{4}}{\lambda^{2}-\lambda_{2}^{2}} \tag{6}$$ Сравнивая его с $(5)$, найдите выражения для $A$, $C_{1}$ и $C_{2}$. Определите $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$, а также отношение $C_{2} / C_{1}$. Предполагая, что осциллятор, ответственный за инфракрасное поглощение, представляет систему из двух ионов $\mathrm{F}^{-}$, смещенных относительно фиксированного иона $\mathrm{Ca}^{++}$, найдите отношение $m_{H} / m_{e}$ – массы протона к массе электрона и сравните его с теоретическим значением $1830\left(m_{F}=19 m_{H}\right)$.

D1 Покажите, что в рентгеновской области спектра можно пренебречь собственными частотами всех электронов и ионов. Запишите $(2)$ в виде $$n^{2}=1-K \lambda^{2}. \tag{7}$$ Получите выражение для $K$ и его численное значение для меди у которой $A=63$, плотность $\mu=8 \cdot 10^{3}~кг \cdot~м^{-3}$ и атомный номер $Z=29$.

Вычислите значение фазовой скорости $v_{\varphi}$ и групповой скорости $v_{g}$ в рентгеновской области спектра.

Каков должен быть закон дисперсии для среды, удовлетворяющей соотношению $v_{\varphi} v_{g}=c^{2}$, где $c$ – скорость света в вакууме?